PremiersBase30, http://www.lisulf.quebec/PremiersBase30.htm,

Systme du QuŽbŽcium.

Les Suites des Premiers en Base 30.

Description : http://www.lisulf.quebec/quebecium_fichiers/image002.gif Pierre Demers.

Traduction interdite

18XI2012, version du 16XII2012.

Sommaire.

On expose que, dans la thŽorie des nombres premiers, 30 est associŽ ˆ la symŽtrie 4.

Une recherche de symŽtrie dans la suite des premiers.

Seuls les impairs peuvent tre des premiers au-delˆ de 2. Dans une recherche de symŽtries dans la suite des premiers, produisons un affichage cyclique du 1er cycle de la suite des entiers dans une base de numŽration B, qui alignerait les impairs en colonnes totalisant B. En plus de 0 et B/2, ce cycle comprend au minimum 1 et B-1. On imagine un miroir de symŽtrie comprenant B/2 ˆ droite. Pour que B/2 soit un entier, il faut avoir B ³ 4 ou B-1 ³ 3. En dÕautres termes, le plus petit cycle est 0, 1, 2, 3, avec une colonne unique comprenant les 2 premiers 1 et 3.

          1É..   |

            B      0                   B/2      B ³4

         B-1É  |

Voici, avec B = 4, 6, 8É Le miroir est placŽ au chiffre Žgal ˆ B/2. Les premiers sont mis en Žvidence. Chaque colonne totalise B. Ë droite, le nombre de colonnes de premiers. Table 1.

Table 1. Table cyclique de la suite des entiers

dans le systme de numŽration base B dans leur 1er cycle.

1

B = 4            0     2    1 colonne

3

1

B = 6            0    3    1 colonne

5

Aux lignes haut et bas, on nՎcrit pas les pairs mais on les compte.

1   3

 B = 8               0           4      2 colonnes

7   5

 1    3

 B = 10          0             5    1 colonne

  9   7

  1       3      5

         B = 12     0                          6    2 colonnes  

 11      9      7

 1   3   5  

          B = 14   0                     7     2 colonnes

 13  11   9

 1    3   5    7

             B = 16  0                            8     2 colonnes

  15   13  11  9

1   3   5   7

          B = 18    0                          9      3 colonnes

 17 15 13 11

1  3   5   7   9

           B = 20    0                           10     3 colonnes

 19 17 15 13 11

1   3    5    7    9

         B = 22   0                                 11   2 colonnes

21 19  17  15  13

1    3    5    7    9    11

            B = 24    0                                         12    4 colonnes*

23  21  19  17  15  13

 1    3    5    7    9    11 

           B = 26   0                                        13    2 colonnes

 25  23  21  19  17  15

   1   3   5    7    9    11   13

            B = 28   0                                               14    2 colonnes

  27  25  23  21  19  17  15

  1   3   5    7    9    11   13

              B = 30   0                                               15    4 colonnes*

  29  27  25  23  21  19  17

 1   3    5    7    9    11    13    15

           B = 32   0                                                       16    3 colonnes

31  29  27  25  23  21   19   17

 1   3   5    7    9     11   13  15

            B = 34   0                                                      17    3 colonnes

33  31  29  27  25  23  21  19

  1   3    5     7    9    11   13  15  17

            B = 36   0                                                             18    4 colonnes*

35  33  31  29  27  25  23  21  19

  1   3    5     7    9    11   13  15   17

             B = 38   0                                                               19    2 colonnes

  37  35  33  31  29  27   25   23   21

   1   3    5     7    9    11   13  15   17   19

            B = 40   0                                                                      20    3 colonnes

  39  37  35  33  31  29   27  25  23   21

   1    3    5     7    9   11   13  15   17   19

             B = 42   0                                                                        21   5 colonnes

 41  39  37  35   33  31   29  27   25  23

   1    3    5     7    9   11   13  15   17   19

             B = 44   0                                                                        22   5 colonnes

 41  39  37  35   33  31   29  27   25  23

   1    3    5     7    9   11   13  15   17   19  21

           B = 46   0                                                                          23   3 colonnes

 45  43  41  39  37  35   33  31   29   27  25

 1    3    5     7    9   11   13  15   17   19  21  23

            B = 48   0                                                                                  24   6 colonnes

  47  45  43  41  39   37  35  33  31  29  27  25

  1    3    5     7    9   11   13  15   17   19  21   23

             B = 50   0                                                                                     25   4 colonnes*

  49  47  45  43  41  39  37    35   33  31  29   27

  1    3    5     7    9   11   13  15   17   19  21   23   25

            B = 52   0                                                                                          26   3 colonnes

  51  49  47  45  43  41  39  37    35   33  31  29   27

   1    3    5     7    9   11   13   15  17   19  21   23   25

            B = 54   0                                                                                             27   6 colonnes

  53   51  49  47  45  43  41  39  37   35  33  31   29

    1    3    5     7    9   11   13  15   17  19  21   23   25  27

            B = 56   0                                                                                             28   3 colonnes

    55  53   51  49  47  45  43  41  39  37  35   33  31   29

     1    3    5     7    9   11  13  15  17  19  21  23  25  27

            B = 58   0                                                                                                  29   3 colonnes

    57  55  53   51  49  47  45  43  41  39  37  35  33  31

    1    3    5    7    9   11  13  15  17 19  21  23  25  27  29

            B = 60   0                                                                                                  30   6 colonnes

  59  57  55   53  51  49  47  45  43  41 39   37  35  33  31

*4 colonnes : B =24, 30, 36, 50

É

 

Font appara”tre 4 colonnes de premiers les bases 24, 30, 36 et 50.

Criblage en base B = 10.

Sauf 2 et 5 dans la 1re dizaine, si on cherche ˆ reconna”tre quels entiers sont des premiers au-delˆ de 5, il faut Žviter ceux dont lՎcriture se termine ˆ droite par les pairs 2, 4, 6, 8 ou 0 et lÕimpair 5. La rgle laisse comme candidats, aprs 1, 2 et 5, les entiers se terminant par 1, 3, 7, 9 et peut se rŽsumer ainsi. On admet 1 comme premier. Voici la rgle.

kB +1, +3, +7, +9, k=0 ou entier,

ou, en Žvitant les rŽsultats nŽgatifs :

kB ±1, ±3, k entier >0.

La liste des candidats peut sՎcrire dans des cycles de 1 ˆ 9, 11 ˆ 19 etc.

La numŽration base 30. Le premier 1.

On Žcrit la suite des entiers dans la base 30 = 1*2*3*5, produit des 4 1ers premiers en comptant 1 comme premier.

Produit et somme par 1. Le premier 1 se distingue de tous les autres parce quÕil peut tre appliquŽ multiplicativement ˆ un nombre N quelconque un nombre de fois indŽfini de fois sans altŽrer la valeur de N. Le premier 1 est un facteur identitŽ ou neutre, quÕil soit prŽsent ou absent, cela peut tre sans consŽquence. Il en est autrement si son application est additive.

Dans lՎcriture cyclique choisie, les entiers en regard forment une paire totalisant la base B ou un multiple impair de celle-ci.

En base B = 30, dans le 1er cycle, dans la suite des entiers de 0 ˆ 29, il se trouve 8 premiers pairŽs situŽs en colonnes de 2.

il y a 8 premiers en regard 2 par 2.

Il y a 4 paires de premiers pairŽs. QuÕen est-il dans les cycles suivants? Dans ce qui suit, les premiers sont mis en Žvidence.

ThŽorme.

En base 30, aucun cycle de numŽration ne renferme 8 premiers sauf le 1er allant de 0 ˆ 29. Ce qui suit dŽmontre ce thŽorme jusquՈ 3600, au 119e cycle.

Criblage en base 30.

Si on Žcrit les cycles lÕun au dessus de lÕautre, avec un miroir de symŽtrie placŽ ˆ 15, les premiers apparaissent exclusivement dans lÕune de 4 colonnes. Voici lՎcriture complte du 1er cycle, qui requiert 16 colonnes.

De 0 ˆ 29.

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

.... 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 É

Voici lՎcriture de 2e cycle, celui commenant par 30.

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

.... 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 É

Les cycles diffrent par lÕaddition ˆ chaque entrŽe de 30k, avec k valant un entier. k vaut 0 entre 0 et 29, 1 entre 31 et 59 etc

Aprs lÕentrŽe de 2 et de 5, un 1er criblage nous permet dÕomettre les colonnes de pairs y compris celles se terminant par 0, il faut aussi omettre celles les entrŽes se terminent par 5, qui sont des multiples de 5. Il ne reste alors que les colonnes dÕentrŽes se terminant par les impairs 1, 3, 7 ou 9. En base 10 ou dans lՎcriture adoptŽe ici, les premiers sont ˆ chercher dans 4 colonnes, qui sont seules prŽservŽes dans ce qui suit. La 2e trentaine ne contient que 7 premiers, 49 Žtant un non-premier ou un composŽ, composant 3 colonnes de premiers.

30 31 37 41 43

     59 53 49 47

Les cycles des entiers en base 30.

Voici un extrait de lÕexamen Žtendu aux entiers infŽrieurs ˆ 360. Le 1er cycle de tous, celui qui commence par 0, contient 4 colonnes compltes de 2 premiers chacune; rŽpŽtons : dans le 1er cycle, de 0 ˆ 29,

il y a 8 premiers en regard 2 par 2,

composant 4 colonnes.

Nous allons voir que ce 1er cycle se distingue de tous les autres  examinŽs, en ce quÕil contient 4 colonnes compltes de premiers ou 8 premiers. Les autres cycles examinŽs en contiennent 7 tout au plus.

Appelons k le nombre des trentaines. Chaque paire de premiers en regard totalise 30 dans le 1er cycle k = 0, 90 dans le 2e k =1, 150 dans le 3e cycle, en gŽnŽral B(1+2k) avec B=30. Dans la Table 2, les facteurs des candidats composŽs sont explicitŽs. La fraction dŽsigne le nombre de premiers prŽsents sur les 8 candidats. Table 2.

Pour savoir si un nombre est entier ou pour conna”tre ses facteurs sÕil est composŽ, par lÕopŽration sÕappelle factorisation ou dŽcomposition en facteurs, on peut utiliser RŽfs 1, 2, 3. 

Table 2.

Base B=30=1*2*3*5, k entier.

Table des premiers infŽrieurs ˆ 360, deux lignes par trentaine, avec lÕeffet dÕun miroir placŽ ˆ kB+15.

 La fraction signale combien de premiers sur 8 le maximum possible

Une ligne ˆ part pour les premiers 2, 3, 5; ils ne forment pas de paires de premiers.

kB=0, 8/8

1   7  11  13

29 23 19  17

 

kB=30, 7/8

31  37  41  43

        59  53  49  47   7*7

 

kB=60, 7/8

61  67  71  73

            89  83  79  77    7*11

 

kB=90, 6/8

91    97  101   103    7*13

119 113 109  107    7*17

 

kB=120, 5/8

          121  127  131  133    11*11  7*19

149  143  139  137    11*13

 

kB=150, 6/8

 151  157  161  163       7*23

  179  173  169  167     13*13

 

kB=180, 5/8

181  187  191  193   11*17

          209  203  199  197   11*19  7*29

 

kB=210, 7/8

            211  217  221  223    7*31

239  233  229  227

 

kB=240, 1/8

               241  247  251  253    13*19  11*23

269  263  259  257    7*37

 

kB=270, 1/8

271  277  281  283

                                      299  293  289  287    13 * 23, 172 , 7 * 41

 

kB=300, 1/8

                      301  307  311  313    7 * 43

                                                 329  323  319  317    7 * 47, 17 * 19, 11 * 29

 

kB=330, 2/8

                           331  337  341  343    11*31, 7*7*7

359  353  349  347

É

Voici une table Žtablie dÕaprs celle donnŽe par Villemin pour les entiers infŽrieurs ˆ 3560, limite portŽe ˆ 3600, k=120. RŽf. 3.

Dans la table de cet auteur, le premier 179 appara”t 2 fois, la 1re apparition seule est seule ˆ conserver, et les premiers 233 et 419 ne sont pas ˆ leurs places.

Une rgle cavalire. Villemin donne cette rgle, pour les premiers P candidats supŽrieurs ˆ 30 dans la base 30. http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/mille.htm

Description :  Macintosh HD:Users:pierre:Desktop:P30k.png

Elle peut se transformer en une rgle cavalire, cavalire parce quÕelle sa formulation sÕapplique ˆ cheval sur 2 trentaines successives.

Avec P supŽrieur ˆ 11, k entier positif.

ƒquation 1.        P = 30k (±1, ±7, ±13, ±17)

La concrŽtisation de cette rgle conduit ˆ Žcrire la Table 3 en 8 colonnes de candidats. Dans cette table, une seule ligne renferme 8 candidats valables. Elle renferme 3 exemples de 8 candidats successifs valables avec une seule valeur de k dans lՎquation 1 :

 

LՎcriture nÕest pas comme Table 2: seuls les premiers apparaissent, avec des vides pour les composŽs, et il y a une seule ligne par cycle. On a Žcrit 2, 3 et 5 sur une ligne distincte. Le nombre de colonnes occupŽes va de 1 ˆ 8, il figure ˆ la droite de chaque ligne occupŽe. La ligne verticale double marque le miroir de symŽtrie 30/2.

Table 3.

Base B=30=1*2*3*5, k entier.

Table des premiers infŽrieurs ˆ 3600,

k=0 ˆ 119.

Une ligne par trentaine.

La ligne double verticale marque la position du miroir de symŽtrie, placŽ ˆ kB+15..

 

 

 

k

kB

1

2

3

4

5

6

7

8

/8

 

 

2

3

5

 

 

 

 

 

3

0

0

1

7

11

13

17

19

23

29

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

30

31

37

41

43

47

 

53

59

7

2

60

61

67

71

73

 

79

83

89

7

3

90

 

97

101

103

107

109

113

 

6

4

120

 

127

131

 

137

139

 

149

5

5

150

151

157

 

163

167

 

173

179

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  6

180

181

 

191

193

197

 

 

199

5

7

210

211

 

 

223

227

229

233

239

6

8

240

241

 

251

 

257

 

263

269

5

9

270

271

277

281

283

 

 

293

 

5

10

300

 

307

311

313

317

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

330

331

337

 

 

347

349

353

359

6

12

360

 

367

 

373

 

379

383

389

5

12

390

 

397

401

 

 

409

 

419

4

14

420

421

 

431

433

 

439

443

449

6

15

450

 

457

461

463

 

 

 

479

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

480

 

487

491

 

 

499

503

509

5

17

510

 

 

521

523

 

 

 

 

2

18

540

541

547

 

 

557

 

563

569

5

19

570

571

577

 

 

587

 

593

599

5

20

600

601

607

 

613

617

619

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

630

631

 

641

643

647

 

653

659

6

22

660

661

 

 

673

677

 

683

 

4

23

690

691

 

701

 

 

709

 

719

4

24

720

 

727

 

733

 

739

743

 

4

25

750

751

757

761

 

 

769

773

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

780

 

787

 

 

797

 

 

809

3

27

810

811

 

821

823

827

829

 

839

6

28

840

 

 

 

853

857

859

863

 

4

29

870

 

877

881

883

887

 

 

 

4

30

900

 

907

911

 

 

919

 

929

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ThŽorie des nombres. Trente et symŽtries 4.

La thŽorie mathŽmatique associe le nombre 30 ˆ la symŽtrie 4 de diverses manires que jÕappelle des modes. Voici un rŽpertoire de ces modes.

A Multiplication de premiers.

On trouve cette assertion : Ç Trente est le plus petit nombre sphŽnique È, cÕest-ˆ-dire produit de 3 premiers. Cela est vrai si on dŽclare que 1 nÕest pas un premier. Sinon, le plus petit sphŽnique serait 15. Voyez la discussion de Villemin sur Ç Un est-il un premier?È CÕest une question de convention et dÕune certaine commoditŽ selon lui. RŽfs 4, 5, 6.

Si on admet 1 comme Žtant un premier, on peut dire :

Ç Trente est le plus petit nombre produit des 4 1ers premiers, 1 nՎtant pris quÕune fois. È

30 = 1*2*3*5

Noter que 30 ne se divise pas sans reste par 4.

B Partition quaternaire en puissances 2 dÕentiers .

Une partition dÕun entier est une manire de lÕexprimer en une somme de termes Žtant chacun un entier. Cette somme peut tre binaire, ternaire, quaternaire etc selon le nombre de termes.

Une partition de 30 est la somme quaternaire des 4 carrŽs dÕentiers les plus petits :

1 2 +2 2+3 2+4 2 = 1+4+9+16 = 30

(30 = 5+25 ou en base 5 : 1.0 + 1.0.0 = 1.1.0)

C Partitions binaires en 2 premiers. Il y en a 4.

C1Tel que dŽcrit longuement plus haut, trente peut sՎcrire en 4 partitions binaires Žtant chacune la somme de 2 premiers.

30 = 1+29 = 7+23 = 11+19 = 13+17

C2 Distribution rŽgulire de ces 4 partitions. Leurs espacements successifs vont en progression arihmŽtique de raison 2 : 6, 4, 2 et de moyenne 4. Voici dÕaprs Table 1. Les 4 sommations verticales des colonnes de premiers donnent chacune 30. Une sommation horizontale nouvelle donne 4*30 = 120. Fig. 1.

   1   3     5     7    9   11   13

              B = 30   0                                               15    4 colonnes*

   29  27  25  23  21  19  17

Sommations:    30               30        30  30 = 120              .

Espacements:            6               4        2                             .

Fig. 1. Extrait de Table 1 augmentŽ. Les 14 pairs entre 0 et 29 sont comptŽs mais non Žcrits.  Les espacements forment une progression arithmŽtique de raison 2 en 3 termes moyenne 4. Chaque sommation des colonnes donne 30, la sommation en ligne donne 120.

D Partitions quaternaires de 30.

Partition quaternaire de 30 dans les 4 1ers multiples de 3, ou lÕaddition des 4 1ers termes dÕune progression arithmŽtique ayant 3 pour 1er terme et 3 pour raison. Il y a 4 termes.

3+6+9+12 = 30

Une autre partition quaternaire, progression gŽomŽtrique ayant 2 pour 1er terme 2 et 2 pour raison. Il y a 4 termes.

2+4+8+16 = 30

E GŽomŽtrie linŽaire 1D, plane 2D, dans lÕespace 3D. Ç Nombres figurŽs È.

Graphisme des nombres : on peut remplacer lՎcriture en chiffres par la figuration 1D sur une ligne droite, 2D sur un plan ou 3D dans lÕespace, de formes rŽgulires rŽgulirement assemblŽes : points, triangles, carrŽs, de solides cubes, de sphres etc. Ce sont des nombres linŽaires, triangulaires, carrŽs, hexagonaux, cubiques, pyramidauxÉ On pourrait aussi bien les appeler des reprŽsentations gŽomŽtriques rŽgulires des nombres. RŽfs 7, 8.

Ce sont les nombres figurŽs. Voici 30 en nombre figurŽ 1D. Fig.  2.

----¥----¥¥¥¥----¥¥¥¥¥ ¥¥¥¥----¥¥¥¥¥ ¥¥¥¥¥ ¥¥¥¥¥ ¥----

Fig. 2.  Trente, sa partition 1, 4, 9, 16 en nombre figurŽ 1D sur une droite. Les termes sont en progression rŽgulire.

Puis en nombre figurŽ 2D carrŽ pyramidal. Fig. 3.                                          

Description :  Macintosh HD:Users:pierre:Desktop:z2D.png

Fig. 3. Trente en nombre figurŽ pyramidal 2D.

Puis en nombre figurŽ 3D pyramidal, dÕabord sous lÕaspect dÕune pyramide de cubes 3D. Fig. 4.

Description : http://www.recreomath.qc.ca/Imdi_carre_np.gif

Fig. 4. Trente en nombre figurŽ 3D en pyramide de cubes. RŽf. 9.

Et encore en nombre figurŽ 3D tŽtra-octaŽdrique, lÕoctadre mis en cause Žtant le tŽtradre tronquŽ dÕArchimde. RŽfs 5, 6. Ces octadres sÕassocient de faon jointive pour donner des formes sÕinscrivant dans un tŽtradre, en nombres cumulatifs 1, 5, 14, 30. Trente est le 4e nombre tŽtra-octaŽdrique. Fig. 5. RŽfs 10, 11, 12.

Description :  Macintosh HD:Users:pierre:Desktop:1.Contenus:1212Contenu:TETRAEDRE TRONQUEaugmente2D.png

Fig. 5. Trente, nombre figurŽ 3D tŽtra-octaŽdrique. Les tŽtra-octadres, qui sont des tŽtradres tronquŽs dÕArchimde, sÔassemblent jointivement. Les termes sont en progression rŽgulire. Vue 2D de la vue 3D manipulable. On ouvre cette dernire en dŽclenchant

TŽtradre tronquŽ augmentŽ.skp, il faut ouvrir le logiciel Sketchup.

Les portions grises sont vides et ont la forme dÕun petit tŽtradre de Platon. Cette pyramide sÕinscrit dans un tŽtradre de Platon. RŽfs 10, 11, 12, 13.

F Le nombre 120.

Des opŽrations telles que ci-dessus, qui associent 30 et symŽtries 4, sont des partitions, divisant 30 en 4 entiers pouvant tre inŽgaux, constituant une analyse du contenu de 30. Elles sont dÕaddition. Elles peuvent aussi tre de multiplication, ce qui rŽsulte des propriŽtŽs de ce contenu et fait appara”tre le nombre 120 comme dans Fig. 1, comme dans Fig. 1, comme la somme de 4 colonnes de premiers.

Le nombre 120 peut se figurer 3D par 120 objets : des cubes, des boules, des  rhombododŽcadres, des tŽtra-octadres, associŽs et sÕinscrivant dans une pyramide de base carrŽe ou dans un tŽtradre de Platon. Un exemple, Fig. 6.

Description :  Macintosh HD:Users:pierre:Desktop:1.Contenus:1001Contenu:Tsimmer:Tetraboules26I2010.png

Fig. 6. 120 boules assemblŽes en 4 niveaux doubles de 4, 16, 36 et 64 soit 4 fois 1, 4, 9 et 16, sÕinscrivant dans un tŽtradre de Platon. RŽf. 14.

Conclusion. Nombre 30 et symŽtrie 4. Trente nombre magique.

LՎvidence est multiple : par ses propriŽtŽs mathŽmatiques ŽnumŽrŽes de A ˆ F le nombre 30 se trouve associŽ par nŽcessitŽ ˆ plusieurs modes de symŽtrie 4, et cela peut expliquer quÕil joue le r™le comme nombre magique, discutŽ dans une autre publication. Ce r™le semble lui appartenir en exclusivitŽ parmi la collection des entiers. RŽf. 6.

Les nombres 24,  36 et 50 prŽsentent, en commun avec 30, le mode C1. Fig 7.

Il ne semblent pas prŽsenter les  autres modes de A ˆ F.

1    3    5    7    9    11

            B = 24    0                                         12    4 colonnes*

23  21  19  17  15  13

  1   3    5     7    9    11   13  15  17

            B = 36   0                                                             18    4 colonnes*

 35  33  31   29  27  25  23  21  19

1    3    5     7    9   11   13  15   17   19  21   23

            B = 50   0                                                                                    25   4 colonnes*

49  47  45  43  41  39   37  35   33   31  29   27

 

Fig. 7. Extrait de Fig. 1. B = 24, 36, 50. On voit que ces nombres peuvent sՎcrire en 4 partitions binaires Žtant chacune la somme de 2 premiers :

24 = 1+23 = 5+19 = 7+17 = 11+13;

 36 = 5+31 = 7+29 = 13+23 = 17+19;

 50 = 3+47 = 7+43 = 13+37 = 19+31.

Ce qui est le mode de symŽtrie C1.

Il reste ˆ comprendre pourquoi le nombre 30 est douŽ de modes de symŽtrie aussi nombreux et en exclusivitŽ.

Aspect philosophique.

En rŽfŽrence au paragraphe A ci-dessus.  Trois dizaines, nombre sphŽnique 3 en en plus du facteur 1 identitŽ, partition quaternaire de 30 dans les 4 1ers multiples de 3 : cela donne importance au nombre 3 dans lÕorganisation mathŽmatique de 30 et par lˆ au caractre essentiel de la tridimensionnalitŽ, examinŽ philosophiquement par Pascal Mueller-Jourdan : Ç la tridimensionnalitŽ É est le substrat de toutes les formes naturellesÈ.  RŽf. 15.

RŽflŽchir sur une connexion possible avec 30 naturellement nombre magique. RŽfs 16, 17, 18, 19.

Remerciements.

JÕinvite Jean-Luc Gouin et Aubert Daigneault ˆ mÕadresser leurs commentaires. Je remercie Patrick Demers, expert informaticien, pour son aide.

RŽfŽrences.

RŽf. 1. Mathnet,

decomposition-nombres-premiers, info@netmaths.net 

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betrema poly annexes premiers

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TYPMULTI  Sphenique

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Wwwgvmm Geometri Nb Geomet,

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Ç Mon but est double:, faire ressortir la magie qui existe au sein de chaque nombre et mettre ces nombres en perspective les uns par rapport aux autres. È  

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wiki TŽtradre tronquŽ

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polyedres archimediens , ferreol@mathcurve.com

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recreomath tronque tetraedre

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Contra Proclum. http://books.google.ca/books?id=ouYLv101jUQC&pg=PA120&lpg=PA120&dq=tridimensionnalit%C3%A9+du+monde&source=bl&ots=nmSieAYpK0&sig=pV6pMI8dYnDZzxFBx1O5tc12cfc&hl=fr&sa=X&ei=S9DJUL_3BKbm0gG6lYDIAQ&redir_esc=y#v=onepage&q=tridimensionnalit%C3%A9%20du%20monde&f=false

http://recherche.uco.fr/chercheurs/m-mueller-jourdan-pascal-6394.kjsp

Gloses et commentaire du livre XI du Contra Proclum de Jean ... - Livre 11 - Page 120 - RŽsultats Google Recherche de Livres

books.google.com/books?isbn=9004202463

pascal.mueller-jourdan@uco.fr,

Ç La tridimensionnalitŽ nÕest pas une quantitŽ accidentelle,Éelle est le 1er substrat de toute la forme accidentelle. È

RŽf. 16. ƒliane Cousquer 1998, La fabuleuse histoire des nombres. Diderot Paris, 1998,

publimath irem univ-mrs.fr biblio AVM99020

RŽf. 17. Description : Description : http://www.lisulf.quebec/PlanHumain30Eternite_fichiers/image002.png Pierre Demers 2012, Trente, nombre magique commun ˆ plusieurs domaines du savoir,

Trente magique commun savoir

RŽf. 18. Description : Description : http://www.lisulf.quebec/PlanHumain30Eternite_fichiers/image002.png Pierre Demers 2012,

Magique 30 finalitŽ Žvolution homo

RŽf. 19. Description : Description : http://www.lisulf.quebec/PlanHumain30Eternite_fichiers/image002.png Pierre Demers 2012Systme du QuŽbŽcium. Le plan de lՐtre humain est inscrit dans le nombre 30 de toute ŽternitŽ.

plan humain 30 eternite

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