Unoctaedrebis10IV2008

Systme du QuŽbŽcium.

Un octadre pavant et son usage dans un tableau 3D des ŽlŽments chimiques.

Pierre Demers

Sommaire. L'octadre que j'Žtudie est le tŽtradre tronquŽ d'Archimde. Il possde 4 faces hexagones rŽguliers et 4 faces triangles Žquilatres. Il se prte ˆ paver l'espace 3D. On obtient aisŽment cet octadre creux par troncature du tŽtradre rŽgulier creux et alors il n'a que les 4 faces hexagones, les faces triangles Žtant des fentres. Il permet de figurer une tŽtrade d'ŽlŽments, un ŽlŽment pour chaque face hexagone. En associant 30 de ces octadres jointivement, je rŽalise un tableau 3D des 120 ŽlŽments dessinant un tŽtradre rŽgulier, dans lequel il est possible de lire de l'extŽrieur le nom de chaque ŽlŽment. RŽfŽrences : heptadre, hexadre, pentadre obtenus semblablement.

 

Introduction

Le prŽsent travail continue celui 967 de 2005, dont les figures 3 et 4 montrent des patrons triangulaires de tŽtradres, composŽs d'un triangle central entourŽ de 3 triangles extŽrieurs. 967 http://www.lisulf.quebec/Atomesentetradeshtml

 

Patron triangulaire. Figuration 3D d'une tŽtrade.

Un triangle ŽquilatŽral peut se dŽcomposer en 4 triangles ŽquilatŽraux Žgaux. Par pliage selon 3 lignes, un grand triangle peut tre repliŽ 3 fois pour donner un tŽtradre creux fermŽ ou un aspect godet. Par 2 replis, il peut prendre l'aspect d'un escarpin, deux faces se rejoignant. Fig. 1.

Fig. 1.  Un grand triangle et ses transformations par pliage. Le code colorŽ diffre selon les figures. OctaFig1.gif

 

Ë chacun des 4 triangles, est attribuŽ le nom d'un ŽlŽment d'une tŽtrade. Ainsi, on peut affecter un patron ˆ chacune des 30 tŽtrades des ŽlŽments. Cette intention, prŽsentŽe, comme exploratoire en 2005, est ici rŽalisŽe pour les 5 premires tŽtrades allant de z = 1 ˆ z = 20, de H  ˆ Ca, dans les formes 3D godet et escarpin, fig. 2, fig,3.

Fig. 2. Godets. OctaFig2a.gif, OctaFig2b.gif, OctaFig2c.gif, OctaFig2d.gif

 

Fig. 3. Escarpins. Cinq tŽtrades, la rangŽe supŽrieure d'une tŽtrade constitue la strate 1, la rangŽe infŽrieure de 4 tŽtrades, la strate 2. Il faudrait ensuite une rangŽe de 9 tŽtrades pour la strate 3 et une de 16 tŽtrades pour la strate 4. OctaFig3.gif Mais voyez la figure suivante.

 

Fig. 4. Tableau 3D  quart d'ellipse des 120 ŽlŽments en 30 escarpins. Poursuivant l'exploration, je dispose les 30 escarpins ˆ la manire de la figure 6 Atofig6b.gif du travail de 2005, soit en quart d'ellipse. Chaque escarpin porte ici le numŽro d'une tŽtrade, comme dans  le Tableau quart d'ellipse, gqafig15,54aquartd.gif, dans http://www.lisulf.quebec/gqajuin2.htm

http://www.lisulf.quebec/Atomesentetradeshtml

OctaFig4.gif

 

Troncatures.

Octadre.

Dans le grand triangle de la figure 1, on remplace chacun des 4 triangles composants par l'hexagone rŽgulier inscrit. Un triple repli donne alors un tŽtradre quatre fois tronquŽ. L'arte est le tiers de celle du tŽtradre original. Le tŽtradre tronquŽ obtenu est creux, il a 4 faces hexagones et dŽlimite 4 faces fentres vides triangles Žquilatres. Les artes des faces hexagones et triangles sont Žgales, valant chacune le tiers de l'arte du tŽtradre original. La figure obtenue a 8 faces et est un octadre non rŽgulier. Une autre manire d'obtenir cet octadre est de raccourcir symŽtriquement au tiers chaque arte d'un tŽtradre rŽgulier.. Fig. 5. Cet octadre s'inscrit dans un tŽtradre qui le circonscrit de 2 faons : par ses faces octadres, ce qui rŽsulte de la construction dŽcrite; et par ses faces triangles, et alors le tŽtradre circonscrit est d'arte double de celle du tŽtradre circonscrit prŽcŽdent. On peut encore dire que l'octadre dŽcrit est l'intesection de 2 tŽtradres rŽguliers dont les artes sont dans le rapport 1 ˆ 2.

Fig. 5. Par troncature d'un tŽtradre rŽgulier sur chacun de ses 4 sommets bvjr, on obtient un octadre ayant 4 faces hexagones et 18 artes Žgales. Il a en outre 4 faces triangles Žquilatres qui sont des fentres. Vues : une face triangle b en haut, puis en bas. Les sommets tronquŽs et les faces triangles rŽsultantes sont dŽsignŽs par les lettres minuscules des capitales dŽsignant les faces opposŽes.

 

Heptadre.

Fig. 6. Comme la figure prŽcŽdente, mais troncature appliquŽe ˆ 3 sommets d seulement. On obtient un heptadre ayant 3 faces fentres. Cet heptadre a un plan de symŽtrie perpendiculaire aux faces R et B..

 

Hexadre.

Fig. 7. Troncature appliquŽe ˆ 2 sommets seulement. On obtient un hexadre ayant 2 faces fentres. Cet hexadre a un plan de symŽtrie perpendiculaire au plans V et B.

Pentadre.

Fig. 8. Troncature appliquŽe ˆ un seul sommet. On obtient un pentadre ayant une face fentre. Ce pentadre a un axe de symŽtrie ternaire centrŽ sur la face B et 6 plans de symŽtrie passant par cet axe.

 

pavage 3D par l'octadre.

Dans l'utilisation que je dŽcris, un octadre est affectŽ ˆ chacune des tŽtrades d'ŽlŽments et chaque face hexagonae d'un octadre porte le nom de l'un des ŽlŽments de la tŽtrade. Les octadres dŽcrits ont la propriŽtŽ de s'associer jointivement pour paver l'espace 3D, en dŽterminant des pyramides tŽtraŽdriques.

 

Ils ne pavent pas l'espace ˆ eux seuls comme le font les rhombododŽcaŽdres ou les cubes. Il faut les accompagner de tŽtradres de mme arte appliquŽs ˆ leurs faces fentres, ces tŽtradres pouvant tre imaginŽs ou sous-entendus. Chaque fois qu'un tŽtradre est requis, au moins 3 de ses artes sont en commun avec celles d'une fentre d'un octadre. Un tŽtradre a 6 artes.

Fig. 9. Dans un octadre, les 4 fentres triangles rjvb.

 

Pour s'appliquer l'un sur l'autre, 2 octadres doivent tre tte-bche comme ceux de la figure 9 et l'un d'eux doit effectuer une rotation de 60o, puis une translation horizontale. C'est ˆ la diffŽrence de deux cubes, qui, figurŽs tte-bche c™te-ˆ-c™te, s'appliquent l'un sur l'autre par translation horizontale aussi, mais sans rotation. D'ailleurs, pour des cubes, tte-bche ne se discerne pas d'identique.

Fig. 10. Application d'un octadre sur un autre par la face jaune..

Fig. 11. Quatre octadres associŽs dŽfinissent un tronc tŽtraŽdrique que six tŽtradres complŽmentaires complteraient, numŽrotŽs t1 ˆ t6. OctaFig11.gif

 

Fig. 12. Vue de quatre octadres associŽs. OctaFig12.gif

 

Fig. 13. Vue de 5 octadres associŽs. Ils dŽfinissent un tŽtraŽdre que dix tŽtradres complmentaires complteraient.OctaFig13.gif

Hublots.

Une fentre, par exemple circulaire comme un hublot, pratiquŽe dans chaque face hexagonale d'un octadre, facilite l'inspection intŽrieure de cet octadre et celle des octadres voisins. PrŽsentement, je manque d'un emporte-pice qui faciliterait l'opŽration nŽcessaire sur la feuille imprimŽe. J'utilise du papier et du carton mince et je colle arte sur arte.

Fig. 14. Patron donnant 2 octadres avec hublots. OctaFig14.gif

 

Strates. Tableau 3D.

Les strates peuvent maintenant se figurer par des agencements d'octadres reprŽsentant chacun une tŽtrade. L'ordre ˆ l'intŽrieur d'une tŽtrade est RJVB, H1, He2, Li3, Be4 dans la 1re strate, N7, Ne10, P 15 , A18 etc. Il est donnŽ figs 2 et 3. Les agencements sont jointifs et pavants (on suppose les octadres complŽtŽs par les tŽtradres complŽmentaires). L'agencement global dessine un tableau 3D qui est un grand tŽtradre ayant ˆ ses 4 sommets autant de tŽtradres complŽmentaires, ayant 4 niveaux. Les niveaux sont numŽrotŽs ˆ partir de 1 pour le niveau supŽrieur. Un niveau par strate. Fig. 15.

Strate 1 : un octadre, tŽtrade 1, 4 tŽtradres complŽmentaires.

Strate 2 : 4 octadres,tŽtrades 2 ˆ 5, 6 tŽtradres complŽmentaires.

Strate 3 : 9 octadres, tŽtrades 6 ˆ 14 9 tŽtradres complŽmentaires.

Strate 4 : 16 octadres, tŽtrades 15 ˆ 30, 14 tŽtradres complŽmentaires.

 

Le contenu des Žquerres du tableau 2D quart d'ellipse dŽterminant les nombres de cases 1, 3, 5, 7 se transpose dans les strates du prŽsent tableau 3D, une Žquerre correspondant ˆ une rangŽe. Des considŽrations de symŽtrie pourraient suggŽrer un agencement diffŽrent, mais ici j'ai choisi une transposition dans l'ordre numŽrique. De la sorte, il se trouve que la colonne vertŽbrale occupe la face ˆ droite dans la figure, soit les cases 1, 3, 5, 10, 13, 14, 21, 26, 29 et 30.

Fig. 15. Tableau 3D en tŽtrades octadres quart d'ellipse des ŽlŽments chimiques. Les nombres manuscrits sont les numŽros d'ordre des tŽtrades. Chaque face limitant le tableau est formŽe de 10 hexagones. La colonne vertŽbrale forme la face ˆ droite. OctaFig15.gif

 

Heptadres, hexadres, pentadres et tŽtradres.

De toute Žvidence, on peut remplacer par des tŽtradres, les 4 octadres aux sommets du tableau 3D. Ces tŽtradres ont une arte valant 3, l'unitŽ Žtant l'arte de l'octadre. On peut remplacer certains octadres par des heptadres, des hexadres ou des pentadres. Les nombres de tŽtradres complŽmentaires requis sont modifiŽs en consŽquence. Fig. 16.

Fig. 16. Modification de la figure prŽcŽdente. Tableau 3D en tŽtrades quart d'ellipse, octadres, tŽtradres, un  pentadre. La place du pentadre est vide. OctaFig16.gif

 

 

Conclusions et perspectives.

Ma premire conclusion est gŽomŽtrique. Le prŽsent travail attire l'attention sur des formes rarement examinŽes, ayant 5, 6, 7 ou 8 faces et dŽrivŽes du tŽtradre rŽgulier. Notre pentadre n'est pas une pyramide quadrangulaire, notre hexadre n'est pas un cube. Notre octadre n'est pas l'octadre rŽgulier; il est l'un des 13 solides d'Archimde, connu sous le nomm de tŽtradre tronquŽ.

Ma deuxime conclusion est davantage physique. Je prŽsente une classification des ŽlŽments chimiques en 3 dimensions, dans une solution remarquable par ses symŽtries qui, encore une fois dans le systme du quŽbŽcium sont d'ordre 4 et associŽes ˆ celles du spin de l'Žlectron.

Troisime conclusion :  tout objet 3D est encombrant et si l'on tient ˆ reprŽsenter la classification des ŽlŽments chimiques en 3 dimensions, l'objet aux dernires figures ci-dessus, plus ou moins transformŽ, pourrait-il devenir pratique et d'utilitŽ courante, le nom de chaque ŽlŽment Žtant bien lisible? Aprs tout, les globes terrestres ont leurs qualitŽs distinctives et on en fabrique encore malgrŽ la commoditŽ des planisphres faciles ˆ ranger. L'objet pourrait se dŽployer en 4 strates gr‰ce ˆ des charnires.

Quatrimement : sur la base des dernires figures encore, on pourrait crŽer un jeu d'assemblage. Les cubes de Rubik ont eu un succs persistant.

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