Unoctaedrebis10IV2008

Systme du QuŽbŽcium.

Un octadre pavant et son usage dans un tableau 3D des ŽlŽments chimiques.

Pierre Demers

Sommaire. L'octadre que j'Žtudie est le tŽtradre tronquŽ d'Archimde. Il possde 4 faces hexagones rŽguliers et 4 faces triangles Žquilatres. Il se prte ˆ paver l'espace 3D. On obtient aisŽment cet octadre creux par troncature du tŽtradre rŽgulier creux et alors il n'a que les 4 faces hexagones, les faces triangles Žtant des fentres. Il permet de figurer une tŽtrade d'ŽlŽments, un ŽlŽment pour chaque face hexagone. En associant 30 de ces octadres jointivement, je rŽalise un tableau 3D des 120 ŽlŽments dessinant un tŽtradre rŽgulier, dans lequel il est possible de lire de l'extŽrieur le nom de chaque ŽlŽment. RŽfŽrences : heptadre, hexadre, pentadre obtenus semblablement.

 

Introduction

Le prŽsent travail continue celui 967 de 2005, dont les figures 3 et 4 montrent des patrons triangulaires de tŽtradres, composŽs d'un triangle central entourŽ de 3 triangles extŽrieurs. 967 http://www.lisulf.quebec/Atomesentetradeshtml

 

Patron triangulaire. Figuration 3D d'une tŽtrade.

Un triangle ŽquilatŽral peut se dŽcomposer en 4 triangles ŽquilatŽraux Žgaux. Par pliage selon 3 lignes, un grand triangle peut tre repliŽ 3 fois pour donner un tŽtradre creux fermŽ ou un aspect godet. Par 2 replis, il peut prendre l'aspect d'un escarpin, deux faces se rejoignant. Fig. 1.

Fig. 1.  Un grand triangle et ses transformations par pliage. Le code colorŽ diffre selon les figures. OctaFig1.gif

 

Ë chacun des 4 triangles, est attribuŽ le nom d'un ŽlŽment d'une tŽtrade. Ainsi, on peut affecter un patron ˆ chacune des 30 tŽtrades des ŽlŽments. Cette intention, prŽsentŽe, comme exploratoire en 2005, est ici rŽalisŽe pour les 5 premires tŽtrades allant de z = 1 ˆ z = 20, de H  ˆ Ca, dans les formes 3D godet et escarpin, fig. 2, fig,3.

Fig. 2. Godets. OctaFig2a.gif, OctaFig2b.gif, OctaFig2c.gif, OctaFig2d.gif

 

Fig. 3. Escarpins. Cinq tŽtrades, la rangŽe supŽrieure d'une tŽtrade constitue la strate 1, la rangŽe infŽrieure de 4 tŽtrades, la strate 2. Il faudrait ensuite une rangŽe de 9 tŽtrades pour la strate 3 et une de 16 tŽtrades pour la strate 4. OctaFig3.gif Mais voyez la figure suivante.

 

Fig. 4. Tableau 3D  quart d'ellipse des 120 ŽlŽments en 30 escarpins. Poursuivant l'exploration, je dispose les 30 escarpins ˆ la manire de la figure 6 Atofig6b.gif du travail de 2005, soit en quart d'ellipse. Chaque escarpin porte ici le numŽro d'une tŽtrade, comme dans  le Tableau quart d'ellipse, gqafig15,54aquartd.gif, dans http://www.lisulf.quebec/gqajuin2.htm

http://www.lisulf.quebec/Atomesentetradeshtml

OctaFig4.gif

 

Troncatures.

Octadre.

Dans le grand triangle de la figure 1, on remplace chacun des 4 triangles composants par l'hexagone rŽgulier inscrit. Un triple repli donne alors un tŽtradre quatre fois tronquŽ. L'arte est le tiers de celle du tŽtradre original. Le tŽtradre tronquŽ obtenu est creux, il a 4 faces hexagones et dŽlimite 4 faces fentres vides triangles Žquilatres. Les artes des faces hexagones et triangles sont Žgales, valant chacune le tiers de l'arte du tŽtradre original. La figure obtenue a 8 faces et est un octadre non rŽgulier. Une autre manire d'obtenir cet octadre est de raccourcir symŽtriquement au tiers chaque arte d'un tŽtradre rŽgulier.. Fig. 5. Cet octadre s'inscrit dans un tŽtradre qui le circonscrit de 2 faons : par ses faces octadres, ce qui rŽsulte de la construction dŽcrite; et par ses faces triangles, et alors le tŽtradre circonscrit est d'arte double de celle du tŽtradre circonscrit prŽcŽdent. On peut encore dire que l'octadre dŽcrit est l'intesection de 2 tŽtradres rŽguliers dont les artes sont dans le rapport 1 ˆ 2.

Fig. 5. Par troncature d'un tŽtradre rŽgulier sur chacun de ses 4 sommets bvjr, on obtient un octadre ayant 4 faces hexagones et 18 artes Žgales. Il a en outre 4 faces triangles Žquilatres qui sont des fentres. Vues : une face triangle b en haut, puis en bas. Les sommets tronquŽs et les faces triangles rŽsultantes sont dŽsignŽs par les lettres minuscules des capitales dŽsignant les faces opposŽes.

 

Heptadre.

Fig. 6. Comme la figure prŽcŽdente, mais troncature appliquŽe ˆ 3 sommets d seulement. On obtient un heptadre ayant 3 faces fentres. Cet heptadre a un plan de symŽtrie perpendiculaire aux faces R et B..

 

Hexadre.

Fig. 7. Troncature appliquŽe ˆ 2 sommets seulement. On obtient un hexadre ayant 2 faces fentres. Cet hexadre a un plan de symŽtrie perpendiculaire au plans V et B.

Pentadre.

Fig. 8. Troncature appliquŽe ˆ un seul sommet. On obtient un pentadre ayant une face fentre. Ce pentadre a un axe de symŽtrie ternaire centrŽ sur la face B et 6 plans de symŽtrie passant par cet axe.

 

pavage 3D par l'octadre.

Dans l'utilisation que je dŽcris, un octadre est affectŽ ˆ chacune des tŽtrades d'ŽlŽments et chaque face hexagonae d'un octadre porte le nom de l'un des ŽlŽments de la tŽtrade. Les octadres dŽcrits ont la propriŽtŽ de s'associer jointivement pour paver l'espace 3D, en dŽterminant des pyramides tŽtraŽdriques.

 

Ils ne pavent pas l'espace ˆ eux seuls comme le font les rhombododŽcaŽdres ou les cubes. Il faut les accompagner de tŽtradres de mme arte appliquŽs ˆ leurs faces fentres, ces tŽtradres pouvant tre imaginŽs ou sous-entendus. Chaque fois qu'un tŽtradre est requis, au moins 3 de ses artes sont en commun avec celles d'une fentre d'un octadre. Un tŽtradre a 6 artes.

Fig. 9. Dans un octadre, les 4 fentres triangles rjvb.

 

Pour s'appliquer l'un sur l'autre, 2 octadres doivent tre tte-bche comme ceux de la figure 9 et l'un d'eux doit effectuer une rotation de 60o, puis une translation horizontale. C'est ˆ la diffŽrence de deux cubes, qui, figurŽs tte-bche c™te-ˆ-c™te, s'appliquent l'un sur l'autre par translation horizontale aussi, mais sans rotation. D'ailleurs, pour des cubes, tte-bche ne se discerne pas d'identique.

Fig. 10. Application d'un octadre sur un autre par la face jaune..

Fig. 11. Quatre octadres associŽs dŽfinissent un tronc tŽtraŽdrique que six tŽtradres complŽmentaires complteraient, numŽrotŽs t1 ˆ t6. OctaFig11.gif

 

Fig. 12. Vue de quatre octadres associŽs. OctaFig12.gif

 

Fig. 13. Vue de 5 octadres associŽs. Ils dŽfinissent un tŽtraŽdre que dix tŽtradres complmentaires complteraient.OctaFig13.gif

Hublots.

Une fentre, par exemple circulaire comme un hublot, pratiquŽe dans chaque face hexagonale d'un octadre, facilite l'inspection intŽrieure de cet octadre et celle des octadres voisins. PrŽsentement, je manque d'un emporte-pice qui faciliterait l'opŽration nŽcessaire sur la feuille imprimŽe. J'utilise du papier et du carton mince et je colle arte sur arte.

Fig. 14. Patron donnant 2 octadres avec hublots. OctaFig14.gif

 

Strates. Tableau 3D.

Les strates peuvent maintenant se figurer par des agencements d'octadres reprŽsentant chacun une tŽtrade. L'ordre ˆ l'intŽrieur d'une tŽtrade est RJVB, H1, He2, Li3, Be4 dans la 1re strate, N7, Ne10, P 15 , A18 etc. Il est donnŽ figs 2 et 3. Les agencements sont jointifs et pavants (on suppose les octadres complŽtŽs par les tŽtradres complŽmentaires). L'agencement global dessine un tableau 3D qui est un grand tŽtradre ayant ˆ ses 4 sommets autant de tŽtradres complŽmentaires, ayant 4 niveaux. Les niveaux sont numŽrotŽs ˆ partir de 1 pour le niveau supŽrieur. Un niveau par strate. Fig. 15.

Strate 1 : un octadre, tŽtrade 1, 4 tŽtradres complŽmentaires.

Strate 2 : 4 octadres,tŽtrades 2 ˆ 5, 6 tŽtradres complŽmentaires.

Strate 3 : 9 octadres, tŽtrades 6 ˆ 14 9 tŽtradres complŽmentaires.

Strate 4 : 16 octadres, tŽtrades 15 ˆ 30, 14 tŽtradres complŽmentaires.

 

Le contenu des Žquerres du tableau 2D quart d'ellipse dŽterminant les nombres de cases 1, 3, 5, 7 se transpose dans les strates du prŽsent tableau 3D, une Žquerre correspondant ˆ une rangŽe. Des considŽrations de symŽtrie pourraient suggŽrer un agencement diffŽrent, mais ici j'ai choisi une transposition dans l'ordre numŽrique. De la sorte, il se trouve que la colonne vertŽbrale occupe la face ˆ droite dans la figure, soit les cases 1, 3, 5, 10, 13, 14, 21, 26, 29 et 30.

Fig. 15. Tableau 3D en tŽtrades octadres quart d'ellipse des ŽlŽments chimiques. Les nombres manuscrits sont les numŽros d'ordre des tŽtrades. Chaque face limitant le tableau est formŽe de 10 hexagones. La colonne vertŽbrale forme la face ˆ droite. OctaFig15.gif

 

Heptadres, hexadres, pentadres et tŽtradres.

De toute Žvidence, on peut remplacer par des tŽtradres, les 4 octadres aux sommets du tableau 3D. Ces tŽtradres ont une arte valant 3, l'unitŽ Žtant l'arte de l'octadre. On peut remplacer certains octadres par des heptadres, des hexadres ou des pentadres. Les nombres de tŽtradres complŽmentaires requis sont modifiŽs en consŽquence. Fig. 16.

Fig. 16. Modification de la figure prŽcŽdente. Tableau 3D en tŽtrades quart d'ellipse, octadres, tŽtradres, un  pentadre. La place du pentadre est vide. OctaFig16.gif

 

 

Conclusions et perspectives.

Ma premire conclusion est gŽomŽtrique. Le prŽsent travail attire l'attention sur des formes rarement examinŽes, ayant 5, 6, 7 ou 8 faces et dŽrivŽes du tŽtradre rŽgulier. Notre pentadre n'est pas une pyramide quadrangulaire, notre hexadre n'est pas un cube. Notre octadre n'est pas l'octadre rŽgulier; il est l'un des 13 solides d'Archimde, connu sous le nomm de tŽtradre tronquŽ.

Ma deuxime conclusion est davantage physique. Je prŽsente une classification des ŽlŽments chimiques en 3 dimensions, dans une solution remarquable par ses symŽtries qui, encore une fois dans le systme du quŽbŽcium sont d'ordre 4 et associŽes ˆ celles du spin de l'Žlectron.

Troisime conclusion :  tout objet 3D est encombrant et si l'on tient ˆ reprŽsenter la classification des ŽlŽments chimiques en 3 dimensions, l'objet aux dernires figures ci-dessus, plus ou moins transformŽ, pourrait-il devenir pratique et d'utilitŽ courante, le nom de chaque ŽlŽment Žtant bien lisible? Aprs tout, les globes terrestres ont leurs qualitŽs distinctives et on en fabrique encore malgrŽ la commoditŽ des planisphres faciles ˆ ranger. L'objet pourrait se dŽployer en 4 strates gr‰ce ˆ des charnires.

Quatrimement : sur la base des dernires figures encore, on pourrait crŽer un jeu d'assemblage. Les cubes de Rubik ont eu un succs persistant.

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