Tetraconeter

10VII2008-16VIII

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SystŹme du Québécium.

Un tétracône pavant et son usage dans un tableau 3D des éléments chimiques.

Pierre Demers

Sommaire. Quatre cônes ayant mźme ouverture et mźme sommet saturent exactement l'espace des angles solides si leur ouverture vaut 109,471o. Si de plus ils ont tous mźme génératrice, ayant tous une base circulaire semblable, ils forment une figure composée de surfaces côniques et de portions de plans. Je l'appelle tétracône, elle est composée de 4 volumes côniques. Le tétracône s'inscrit dans un tétraŹdre régulier et aussi dans un octaŹdre que j'ai étudié précédemment, identique au tétraŹdre tronqué d'ArchimŹde. Le tétracône participe aux propriétés de pavage que j'ai décrites pour cet octaŹdre, permettant entre autres de réaliser un tableau 3D des éléments chimiques, un élément étant figuré par un cercle et un volume conique, chaque tétracône figurant une tétrade d'éléments. Je propose "pavage" faute d'un meilleur terme, puisque l'occupation de l'espace est incomplŹte. La présente sorte de pavage laisse inoccupés des espaces ą l'intérieur et ą l'extérieur des tétracônes. Quatre est un nombre privilégié dans ce qui précŹde puisqu'il est associé aux tétrades d'éléments, chaque élément chimique appartenant ą une tétrade. - Le tétracône peut źtre représenté soit par les seules 4 surfaces gauches, soit par les seules 4 surfaces planes. Il s'en suit 2 types, A et B, de tableaux 3D des éléments chimiques. - J'examine la possibilité qu'il existe des figures comparables au tétracône mais formées de n cônes avec n différent de 4. Je montre que cette possibilité existe pour n = 6  ou 12, il existe l'hexacône et le dodécacône, pourvus eux aussi de la propriété de pavage indéfini. On ne peut pas dire que chaque élément chimique appartient ą une hexade ou ą une dodécade.

 

Introduction.

Le présent travail continue un autre travail de 2008, lequel  continuait celui de 2005, dont les figures 3 et 4 montrent des patrons triangulaires de tétraŹdres, composés d'un triangle central entouré de 3 triangles extérieurs. 967 http://www.lisulf.quebec/Atomesentetradeshtml

Le travail de 2008 est  intitulé Un octaŹdre pavant etc. 1001 http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/Unoctaedrebis.htm

 

Ces résultats découlent de l'étude que je poursuis depuis 2004 de la géométrie des cônes de précession du moment cinétique propre de l'électron ou spin, dont l'ouverture est fixée par la théorie ą la valeur de 109,471o. Quatre de ses cônes forment une association naturelle pour définir un tétraŹdre régulier. J'ai suggéré qu'il y a lą une explication de la symétrie d'ensemble d'ordre 4 du tableau des éléments chimiques, une raison de grouper ces éléments en tétrades, j'ai par suite présenté un tableau 2D des éléments en tétrades, lequel prend l'aspect d'un quart d'ellipse. Dans un tel tableau, les tétrades sont figurées par une grande case carrée divisée en 4 petites cases carrées. J'ai montré que l'octaŹdre pavant mentionné ci-dessus permet de réaliser un tableau 3D de 30 octaŹdres. Voyez la figure 15 http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/Unoctaedrebis.htm. J'ai maintenant aperću une propriété remarquable appartenant au groupement de 4 des cônes de précession : il s'incrit dans un octaŹdre pavant et participe par suite de ses propriétés de pavage. Ce groupement, je l'appelle tétracône.

 

La génératrice du cône mesurant 5 cm, sa base est un cercle de rayon 4,0825 cm, qui s'inscrit dans un triangle de côté 14,14 cm et dans un hexagone de côté 4,71 cm. Le tétraŹdre circonscrit a une arźte de 14,14 cm, l'octaŹdre circonscrit a une arźte de 4,71 cm. Voyez Fig. 1, http://www.lisulf.quebec/GQ1sur2

 

Exposé.

La possibilité apparaĒt donc de réaliser un tableau 3D des éléments constitué de 30 tétracônes, chacun étant inscrit dans l'un des octaŹdres du tableau de 30 octaŹdres de la figure 15 mentionnée ( http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/Unoctaedrebis.htm).

 

Les tétracônes s'associent jointivement par le contact de leurs faces circulaires planes mais avec des vides. Je propose "pavage" faute d'un meilleur terme, puisque l'occupation de l'espace est incomplŹte. La présente sorte de pavage laisse inoccupés des espaces ą l'intérieur et ą l'extérieur des tétracônes. Si on compare la présente figure ą un empilement de boulets de canons, elle ressemble plus ą un pavage proprement dit qu'ą cet empilement, oĚ le contact entre boulets est ponctuel. - On peut voir dans cette possibilité une confirmation supplémentaire de la pertinence de faire intervenir la géométrie pour expliquer le tableau des éléments et la structure des atomes. Cette géométrie étant celle des cônes de précession du spin de l'électron.

Fig. 1. Patron d'un cône dans la convention A. On découpe en laissant une patte le long de OD et on applique OA sur OD.  La patte sert ą raccorder par collage les lignes OA et OD, O centre. PatronCone.gif, TCfig1.gif

Voyez le patron d'un cône Fig. 9. TétraŹdre régulier associé aux spins 0,5/0,5 et 3/2 Patron sur une feuille plane servant ą obtenir un cône d'ouverture 109,471o du spin 0,5. Rayon 5 cm.Quatre de ces cônes génŹrent un tétraŹdre régulier. D'aprŹs extrait de 970 en 2005 http://www.lisulf.quebec/GQ2sur2.html

 

Voici le patron d'un cône, fig.1. Le patron d'un tenant d'un tétracône dans la convention A, savoir sans les surfaces planes circulaires, fig. 2.

 

Fig. 2. Patron d'un tétracône d'un tenant..ConetetraRJVBquater.gif

On peut naturellent fabriquer 4 cônes séparément et les assembler ensuite, mais le présent patron remplace certaines opérations d'assemblage par de simples pliages.

 

Fig. 3. Un tétracône inscrit dans 3 parois d'un octaŹdre. TetrainscritOcta.gif

Un tétracône qui est incrit dans 3 parois d'un octaŹdre, fig. 3.

Fig. 4. pavage de tétracônes. Exemple de 4 tétracônes. Faces R sur R, J sur V,

B sur V.Tetras4.gif

Un pavage restreint de tétracônes : 4 tétracônes , faces R sur R, J sur V, V sur V, fig. 4.

Fig. 5. Énantiomorphes. RJVetRJB.gif

Si on discerne les cônes constituants d'un tétracône, par exemple par les couleurs RJVB, 2 énantiomorphes se manifestent. RJVB et RJBV ne se superposent pas, fig. 5. Le tétracėne est un objet chiral.

Fig. 6. Les 4 strates formées de 30 tétracônes. Tesstra1234.gif

Voici un tableau 3D des 4 strates formées de 30 tétracônes, fig. 6.

Fig. 7. Patron d'un tenant d'un tétracône, convention B. TCfig7.gif

Dans la convention B maintenant, voici le patron d'un tenant d'un tétracône, fig. 7. Chaque cercle du tétracône est entouré d'un hexagone circonxcrit.

 

Convention B. Tableau 3D.

Les strates peuvent maintenant se figurer par des agencements de tétracônes. Figure 8 ą gauche, la face circulaire plane des cônes n'est pas figurée, c'est la convention A. ň droite, au contraire, la face circulaire est seule figurée, c'est la convention B.

Fig. 8.  Un tétracône convention A, convention B. Dans la convention B, faites oeuvre d'imagination. Imaginez le point central, de ce point, imaginez pour chaque face une droite génératrice s'appuyant sur la circonférence extérieure de l'anneau coloré, et vous avez devant vous 4 cônes et un tétracône complet. Conecercle.gif

A La face circulaire plane des tétracônes est suggérée et imaginée. Figure 8 ą gauche, la face circulaire plane des cônes n'est pas figurée.

 

B Figure 8 ą droite, au contraire, la face circulaire est seule figurée, la surface de révolution est suggérée en imaginant le point central et la génératrice en révolution. Ces derniŹres figures ressemblent beaucoup ą la figure 15 mentionnée ( http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/Unoctaedrebis.htm), sauf qu'on y considŹre des cercles au lieu  des hexagones qui les entourent.

Fig. 9. Strate 2 en tétracônes dans la convention B. TCfig9.gif

La strate 2 estreprésentée 3D en tétracônes, fig. 9.

 

Autres multicônes pavants.

Six cônes ayant mźme ouverture et mźme sommet saturent exactement l'espace des angles solides si leur ouverture vaut 90o. L'hexacône réalisé s'inscrit dans un cube. Avec 20 tels hexacônes, on dispose de 120 cônes ou de 120 carrés oĚ inscrire le nom de chaque élément chimique, et on peut donc réaliser une sorte de tableau 3D par pavage, ayant 5 étages de 4 cubes chacun, 24 éléments par étage. Cette figure n'a pas de sens physique particulier. Fig 10.

Fig. 10. Tableau de 120 éléments en 20 hexacônes  ou 20 cubes dans la convention B. Hexacone20bis.gif

Douze cônes ayant mźme ouverture et mźme sommet saturent exactement l'espace des angles solides si leur ouverture vaut 60o. Le dodécacône réalisé s'inscrit dans un rhombododécaŹdre pavant. Avec 10 tels dodécacônes, on dispose de 120 cônes ou de 120 losanges oĚ inscrire le nom de chaque élément chimique, et on peut donc réaliser une sorte de tableau 3D par pavage. Cette figure n'a pas de sens physique particulier.

Tracé d'un multicône par le mouvement d'un point. Multicônes et pyramides.

Partant du sommet d'un cône, le point figuratif décrit une génératrice dans un mouvement centrifuge, puis une circonférence dans une ligne fermée en entraĒnant la génératrice; il parcourt ensuite la génératrice dans un mouvement centripŹte et revient au sommet du cône. Fig. 11.

Fig. 11. ManŹge d'un point figuratif. Le sens de rotation est droit pour un observateur placé au dessus de la base. TCfig11.gif

Puisque le sommet est commun ą tous les cônes, le point figuratif peut, sans qu'on ait ą lever la plume, reprendre le mźme manŹge pour un 2e cône au choix et un 3e etc tant qu'il en est. De préférence, on choisira le sens de rotation droit tel que vu de l'extérieur du cône.

 

Tous les cônes composant un multicône se prźtent ą ce mode de tracé par un mouvement ininterrompu d'un point figuratif, ceux pavants avec n = 4, 6, 12, ceux  non pavants issus des polyŹdres réguliers avec n = 8, 12 et 20, et d'autres encore.

 

En remplaćant la base circulaire par un polygone, une pyramide ayant ce polygone pour base se prźte ą un tel mode de tracé.

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