SSVolCompl2ncell

http://www.lisulf.quebec/quebecium.htm

Systme du QuŽbŽcium

Solides sans volume.

Les hexadres. Le nombre de cellules.

Rgles gŽnŽrales.

Pierre Demers et Patrick Demers

Traduction interdite

18X-7XII2010

RŽsumŽ. LĠun de nous a montrŽ prŽcŽdemment qu'un processus de dŽrivation comprenant translation et jonction, appliquŽ ˆ certains solides rŽguliers, en quelque sorte orthonormal ˆ celui qui produit les solides coiffŽs, permet d'obtenir des solides n'enfermant aucun volume, qui sont des polydres non fermŽs,  et des semi-surfaces, qui sont des  surfaces nĠayant quĠun c™tŽ. Ont ŽtŽ ainsi dŽcrits quelques uns des solides sans volume possibles, avec photos de modles 3D et figures manipulables. RŽf 1, 2. Nous poursuivons ici leur Žtude, en envisageant cette fois les hexadres et le nombre de cellules rŽsultantes. Ce nombre est Žgal ou supŽrieur au nombre de sommets du solide original. Nous Žnonons des rgles sur le nombre des cellules polydres ouverts obtenus et sur le nombre de leurs parois. Nous recourons ˆ la reprŽsentation des parois par leur horizon, figurŽ par un point sur une sphre. Nous considŽrons le cas des solides non rŽguliers sans volume. Nous prŽsentons des modŽlisations 3D manipulables et des animations 2D, obtenues avec le logiciel Sketchup.

Introduction.

Nous prŽsentons successivement plusieurs types dĠhexadres avec nos commentaires et nous terminons en Žnonant des rgles gŽnŽrales concernant les solides sans volume.

Hexadres 1. Le Cube.

Le cube est un solide rŽgulier et de Platon, le plus simple des hexadres, solides limitŽs de routes parts par des parois planes. Rappelons un travail prŽcŽdent, qui prŽsentait les solides sans volume. RŽf.1

Voici un cube et un cube sans volume, papier lĠun et lĠautre. Les 6 parois opposŽes 2 ˆ 2 du cube sont rapprochŽes virtuellement, ce qui est la translation et se rejoignent en formant 3 surfaces tridres se croisant au centre de figure. La translation amne le centre de figure dĠune paroi ˆ co•ncider avec le centre de gravitŽ du solide. Fig. 1.

ab c

Fig. 1. a Un cube papier. Cubepap.png 

b Le mme devenu cube sans volume avec couleurs RVB. CubePapSv.png 

c Idem sans couleur. CubeSvScou.png

 

Jonction. Nous  appelons jonction le terme du processus de translation, qui donne lieu ˆ la disparition du volume enfermŽ dans un solide, particulirement facile ˆ comprendre et ˆ dŽcrire dans le cas du cube, ˆ cause de lĠorthogonalitŽ mutuelle des parois opposŽes prises 2 ˆ 2. Fig. 2.

En principe, nos vues fixes sont en perspective oblique. Les orientations principales des plans sont colorŽes RVB aussi bien que les axes xyz trirectangles qui leur respectivement perpendiculaires. Un axe est donc muni de la couleur de la paroi qui lui est perpendiculaire. Le plan V fait face ˆ lĠobservateur. La face la plus proche de lĠobservateur est munie du signe +, son opposŽe parallle, du signe –.

Nous appelons parois les portions de surfaces planes limitant un solide.

a  b  c .

Fig. 2. Translation et jonction du cube.

a Un cube aux 3 couleurs RVB.

b. En animation. Translation des parois R+ et R-, annulant le volume ˆ la jonction. Animation.CubeGIF.gif

c Aprs jonction le cube sans volume

Dans le cas du cube Fig, 1a, il y a jonction de 2 parois opposŽes sĠajustant exactement lĠune ˆ lĠautre avec formation d'un carrŽ ayant 2 faces, + avant et - arrire. Voici le rŽsultat isolŽ pour les 2 parois V. Fig. 3. Et la vue en plan du rŽsultat pour les 3 parois ˆ la jonction. Fig. 4

Fig. 3. Jonction de 2 parois V opposŽes + et -, contenant les axes x et z. CubeAvArV.png  

 

Fig. 4. Le cube sans volume, plan B contenant les parois + et -, lĠaxe z est en bleu. Les carrŽs R et V apparaissent par leurs traces en pointillŽ. CubePlanB.png

 

Horizons.

Nous recourons ˆ la reprŽsentation des parois par leur horizon, figurŽ par un point sur une sphre, la sphre des horizons assimilable ˆ la sphre des angles solides ou ˆ la sphre cŽleste augmentŽe de sa rŽplique vers le bas. LĠhorizon autour de chacun est caractŽrisŽ par une verticale orientŽe zŽnith – nadir qui perce la sphre cŽleste mesurant 2pi, celle dĠun observateur voyageur spatial ˆ quelque distance de la terre mesurant 4pi. Voilˆ cetytye sphre rerŽsentŽe. Fig. 4bis.

Fig. 4bis. Ls sphre des horizons. Les cercles concentriques marquent les latitudes lĠŽquateur 0o, 30o, 45o, 60o, les p™les 90o. Les 6 points de contacts avec le cube inscrit ou points principaux. Sphere1X.png

 

Imaginons une perpendiculaire portŽe au centre de chaque paroi dĠun solide, elle ou sa parallle passant par le centre de la sphre perce cette sphre ou sa reprŽsentation en un point que nous marquons par une pastille. Les parois dĠun solide contenant les axes x et y apparaissent par une pastille au sommet de la sphre ou zŽnith pour la face supŽrieure + et une autre ˆ sa base ou nadir pour la face infŽrieure –, qui sont donc superposŽs dans une reprŽsentation 2D en plan de la sphre. Pastille noire = point figuratif au dessus du plan du papier; pastille blanche, en dessous de ce plan. Le canevas Fig. 5. Par exemple, la surface dĠun lac servant de paroi supŽrieure dĠun cube: les lacs S. Pierre et S. Louis, peu ŽloignŽs lĠun de lĠautre gŽographiquement ont le mme horizon, soit le mme zŽnith, pastille noire unique sur le canevas plan B ci-dessous.

Cette reprŽsentation a la particularitŽ dĠtre prŽservŽe quand un solide normal devient sans volume puisque lors de la translation, une paroi se dŽplace paralllement ˆ elle-mme. Elle est la mme pour tous les plans parallles et ne dŽpend pas de la forme de la surface occupŽe ni de son extension.

La sphre des horizons peut se reprŽsenter par un canevas contenant les 3 projections plan, ŽlŽvation, profil. Fig. 5. Pour chaque paroi du solide considŽrŽ, on y inscrira les pastilles descriptives.

Fig. 5. La sphre des horizons. Canevas, ses 3 vues trirectangles plan, ŽlŽvation, profil. Dans le cube, toute surface est pairŽe cˆd lui correspond une autre qui lui est parallle, la plus proche de lĠobservateur portera le signe +, lĠautre, le signe -. Des parois pairŽes + et – sont liŽes ˆ zŽnith et nadir, mutuellement antipodes. Dans le cas gŽnŽral, si une paroi est non pairŽe, on lui attribuera le signe +. CanevasMidi1erXI2010.png

 

Ë lĠusage, une seule de 3 projections planes de ce canevas nous a paru suffire, celle en plan, les 2 autres rŽpŽtant lĠinformation. Le canevas ainsi simplifiŽ para”t Fig. 5bis Canevas Plan. LĠŽquivalent est de plus prŽsentŽ en version 3D et 2D de 3D

abcËvenir

Fig. 5bis. Le Canevas Plan de la sphre des horizons. a  Version dessin. CanevasPlan9XI2010.png   b Version 3D.   c Version 2D de 3D

 

Le Cube dŽcrit en terme dĠHorizons.

Voici lĠapplication du canevas des horizons ˆ la description du cube. Fig. 6. Les 6 points principaux de la sphre rŽpondent aux 6 parois limitant le cube.

ab

Fig. 6. Horizons du cube et de la poutre, tous hexadres ayant tous angles droits, sur le Canevas Plandes horizons o les 6 parois apparaissent comme 5 pastilles dans chaque projection plane : 6 points pour 6 parois, 2 points confondus pour les parois vues de face. CanevasPlanCube9XI2010.png

 

Voici pour illustrer et mieux comprendre les Žtapes et les espaces gŽomŽtriques au cours de la translation. Ë son dŽbut, 6 parois sont en jeu, elles se dŽplacent. Fig. 7.

a   b

Fig. 7. Nombre de parois des cellules. a Un cube non colorŽ en cours de translation. XXX

b Un cube colorŽ RVB en cours de translation. Vue obtenue avec le logiciel sketchup. Six parois sont en dŽplacement. On reconna”t 3*9 = 27 espaces dŽfinis par au moins 3 parois. Les espaces nouveaux sont de 3 types, limitŽs par 3, 4 ou 5 parois. Rendu 2D dĠun document sketchup. CubeContr1. Png  Certaines de nos  figures requirent la possession et lĠusage du logiciel sketchup. Annexe 1.

 

Les 27 espaces (cube).

Nombre des espaces, les nouveaux et le rŽsiduel, prŽsents au cours de la translation du cube. Le type dĠespace est caractŽrisŽ par le nombre de parois le limitant, au moins 3.

Espaces nouveaux

ayant 3 parois: 8; (persistent dans le rŽsultat ˆ la jonction) ;

ayant 4 parois: 12; (disparaissent dans le rŽsultat ˆ la jonction) ;

ayant 5 parois : 6 ; (disparaissent dans le rŽsultat ˆ la jonction) ;.

Espace rŽsiduel central

Ayant 6 parois : 1 (seul au dŽbut, dispara”t ˆ la jonction) ;

Total 27.

Parmi les 27 espaces, 26 sont donc nouveaux et ouverts, le rŽsiduel central ou cube central Žtant un espace fermŽ, 8 persistent formant des octants.

Une fois la jonction rŽalisŽe, les 6 parois + et - se sont unies 2 ˆ 2 pour former les 3 plans Fig. 4, et le cube central finalement nĠoccupe plus quĠun espace ponctuel. Au dŽbut du processus de translation, appara”t ˆ chaque sommet du cube un espace limitŽ par 3 portions de plan, soit 8 tels espaces qui, en fin de processus persistent seuls. Ce sont des octants, dĠangle solide pi/2.

Pour le cube gris non colorŽ, les espaces 3 sont tous congruents entre eux, il en est de mme des 6 espaces 5 et des 8 espaces 4.

Pour le cube colorŽ, les 8 espaces 3 sont congruents entre eux par groupes de 4, aussi bien pendant la translation que dans le rŽsultat ˆ la jonction. Voyez ce rŽsultat plus bas. Les espaces 4 sont congruents entre eux, il en est de mme des espaces 5.

 

Vues 3D manipulables.

Le logiciel skp permet de prŽsenter une vue 3D manipulable de Fig. 7.

cube inclinŽ 2 fois. PDF

Si le modle 3D, ci-dessus, n'apparait pas veuillez cliquer sur ce lien. Cube2DContr2C.pdf

Fig. 8. Ouvrez le lien. Vue 3D manipulable du cube ˆ une Žtape de la translation. Comme Fig. 7 sauf la manipulation.  

Congruences. ChiralitŽs.

Le cube sans volume non colorŽ Fig. 7a prŽsente 8 cellules trirectangles toutes congruentes entre elles. Cette congruence rŽclame un prix ˆ payer, soit des dŽplacements et retournements comprenant des translations et des rotations dĠun droit ou plus dĠun, selon un axe ou plus.

Il en est pareillement pour le cube sans volume colorŽ 2 couleurs RVV, si on ignore des diffŽrences possibles de prix ˆ payer.

Il en est autrement pour le cube sans volume colorŽ 3 couleurs RVB. Avec un prix ˆ payer, et avec la numŽrotation choisie, les 4 cellules impaires 1, 3, 5, 7 sont congruentes entre elles et les 4 cellules paires 2, 4, 6, 8 sont congruentes entre elles. Il nĠy a pas de congruences entre cellules paires et impaires. Si on remplace chaque cellule par un point centrŽ, les 8 points sont aux 8 sommets dĠun cube , chaque point est reliŽ ˆ ses 3 voisins de mme paritŽ selon les petites diagonales de ce cube. Le rŽsultat est la dŽfinition de 2 tŽtradres rŽguliers dont les artes se rencontrent selon des droits. Fig. 9.

Ces observations peuvent se prŽsenter en termes de chiralitŽs ou dĠŽnantiomorphismes, rŽalitŽs et notions importantes en stŽrŽochimie, en thŽorie de la vie et en mŽdecine: problmes des gauchers, dyslexie et apprentissage.

Rappelons que dans tout cube, on peut tracer des petites diagonales en travers des parois, et que ces 12 segments de droites dessinent 2 tŽtradres inscrits aux artes croisŽes. Ce sont des tŽtradres de Platon.

a  

cube inclinŽ 2 fois. PDF

Si le modle 3D, ci-dessus, n'apparait pas veuillez cliquer sur ce lien. CubeCont4Tetra.pdf

Fig. 9. Montre les 8 points centrŽs et les 2 tŽtradres quĠils dŽterminent

a  On reconna”t 8 octants du cube sans volume, organisŽs en 2 systmes de 4 cellules congruentes. Ces systmes sont marquŽs par les petites diagonales qui dessinent 2 tŽtradres rŽguliers aux artes croisŽes ˆ angles droits, sur les faces dĠun cube virtuel de c™tŽ Žgal ˆ lĠarte dĠun octant. CubeTetra6XI2010.png

Les sommets visibles sont successivement violet 1 et orangŽ 2 en haut, orangŽ 8 et violet 5 en bas

b CĠest la figure a manipulable 3D avec des numŽros aux sommets

 

Les miroirs.

Le cube sans volume possde 3 miroirs de symŽtrie trirectangles se croisant ˆ lĠorigine. Dans lĠencoignure dĠun tridre de miroirs plans en plexi, plaons le tridre papier de lĠoctant supŽrieur droit avant. Il appara”t multipliŽ en 8 exemplaires assemblŽs correctement comme dans la figure en 8 octants papier. Chaque rŽflexion introduit un facteur 2 dans le nombre dĠimages. Cela est vrai pour le cube sans couleurs et pour les cubes colorŽs RVV et RVB.

ab

Fig. 10. Miroirs trirectangles plexi multipliant par 8 lĠoctant papier du cube sans volume.

a Avec une seule couleur. Image3miroirs3h531X2010.png 

b Couleurs RVB. Image3Miroirs3Coul.png

 

Surfaces nĠayant quĠun seul c™tŽ. Les semi-plans. Les semi-surfaces.

Le rŽsultat de la jonction est une collection de surfaces, chacune ayant 2 faces, avant + et arrire -, chacune de ces faces provenant dĠune paroi originale du cube. Puisque la jonction des 2 parois produit une surface ˆ 2 c™tŽs, il est logique dĠattribuer un c™tŽ et un seul, ˆ chacune des parois avant leur jonction. Nous arrivons ainsi au concept dĠune face plane ou paroi, limite dĠun espace 3D, nĠayant quĠun c™tŽ, concept signalŽ dans RŽf. 1, sous lĠappellation anti-Mšbius. Ce concept pourra tre discutŽ davantage dans une publication distincte. Dans les figures prŽsentŽes ici, il sĠapplique ˆ toutes les parois limitant le cube ou lĠhexadre initial et ˆ ce quĠil en reste en fin de translation. Dans les diagrammes des horizons XXFigs 4b et 8b, chacun des points marquant 2 ˆ 2 une paroi dŽsigne un demi-plan orientŽ vers lĠextŽrieur.

On pourrait gŽnŽraliser. Toute paroi limitant un volume est un demi-plan, nĠayant quĠun c™tŽ, si ce volume est celui dĠun solide. LĠappellation demi-plan a son mŽrite, mais afin dĠenglober le cas de surfaces non planes, une appellation gŽnŽrale serait demi-surface.

Il faudrait examiner lĠanalogie physique et biologique avec les lames de savon dans les bulles de savon, les membranes des cellules vivantes, la couche de gŽlatine enveloppant les cristaux de bromure dĠargent dans les Žmulsions photographiques et ionographiques au gŽlatino-bromure dĠargent.

Kauffman RŽf. 3 a ŽtudiŽ longuement les nÏuds et le cas du ruban de Mšbius, dont les deux faces, dŽveloppŽes en 3D, semblent nĠen former quĠune par continuitŽ.

 

Hexadres 2. La Poutre.

Le cube, solide rŽgulier et de Platon, appartient ˆ une immense famille, celle des hexadres et plus prŽcisŽment, des hexadres trirectangles, dĠintŽrt pratique bien connu en commerce et en architecture. Dans ces derniers, tous les angles didres et ceux entre artes aux sommets sont des droits et les parois sont des rectangles 2 ˆ 2 opposŽs et parallles. Ils mŽritent le nom de poutres, les artes Žtant de 3 longueurs en gŽnŽral inŽgales choisies ici comme Žtant 123. Il nĠappara”t pas de raison qui interdirait dĠappliquer aux poutres les opŽrations de translation et de jonction dŽcrites pour le cube. Fig. 2.

 

Une poutre peut subir une translation et devenir une poutre sans volume. Comme lĠhorizon dĠune paroi ne dŽpend que de lĠorientation de la perpendiculaire ˆ ses dimensions latŽrales, il est insensible ˆ ces dernires et. rŽciproquement, lĠinspection du canevas ne nous renseigne pas sur les dimensions des parois, ni dĠailleurs sur leur forme. Par suite, les figures ci-dessus pour le cube se rŽptent avec ajustements pour la diversitŽ des longueurs des axes, pour la poutre sans volume et pour la poutre. Fig. 6. RŽpŽtons que lĠinspection de la sphre et du canevas des horizons ne renseigne ni sur les longueurs des artes, ni sur le volume enfermŽ dans le solide original.

a

bc  d

Fig. 11. Une poutre 123. a Papier normale et sans volume sans volume image ŽclatŽe. LĠoctant papier est multipliŽ par 8 dans un tridre de miroirs plexi. Eclatee.png

b Une poutre grise et ses 3 artes inŽgales 123 ˆ une Žtape de sa translation. Les petits chiffres sont les numŽros assignŽs aux 8 cellules sommitales. PoutreGrise.png 

c En couleurs RVB ˆ une Žtape de sa translation. Nombre de parois des espaces. PoutreEDED.png

d Sans volume. Les parois pairŽes en vis-ˆ-vis sont + et -. Ce sont des demi-surfaces, leurs jonctions en forment des surfaces. Cube contracteAsy123-9.gif  

Au cours du processus de translation, aussi bien que pour le cube, 27 espaces apparaissent. Ë cause des diffŽrences entre poutre et cube, il y a 3 valeurs distinctes ˆ considŽrer pour les longueurs des artes. En diffŽrence dĠavec le cas du cube, le nombre de parois limitant un espace ne suffit pas ˆ caractŽriser un type dĠespace. Voici une description.

Ayant 3 parois : 8 = 4A pairs, 4A impairs. Persistent dans le rŽsultat ˆ la jonction,

Ayant 4 parois: 12 = 4B, 4C, 4D.

Ayant 5 parois: 6 = 2E, 2F, 2G.

Ayant 6 parois: 1 = H. Devient ponctuel ˆ la jonction,

 

Congruences et tŽtradres pour la poutre sans volume.

Ë la diffŽrence du cube, la poutre sans volume non colorŽe ou avec 2 couleurs ne prŽsente pas 8 cellules trirectangles toutes congruentes entre elles. ColorŽe ou non, avec la numŽrotation choisie, les 4 cellules impaires 1, 3, 5, 7 sont congruentes entre elles et les 4 cellules paires 2, 4, 6, 8 sont congruentes entre elles. Il nĠy a pas de congruences entre cellules paires et impaires. Si on remplace chaque cellule par un point centrŽ, les 8 points sont aux 8 sommets dĠun parallŽlipde, chacun est reliŽ ˆ ses 3 voisins de mme paritŽ selon les petites diagonales de ce cube. Le rŽsultat est la dŽfinition de 2 tŽtradres dont les artes se rencontrent selon des angles autres que des droits. ChiralitŽs ou Žnantiomorphismes sont inhŽrents ˆ lĠinŽgalitŽ des 3 dimensions de la poutre, que les parois soient colorŽes RVB ou non.

Ë la ressemblance avec le cube, on peut donc tracer dans la poutre sans volume 2 tŽtradres aux artes croisŽes, correspondant respectivement aux cellules paires et impaires. Mais les tŽtradres ne sont pas rŽguliers et les angles aux croisements ne sont pas des droits.

 

Hexadres 3. Faces parallles 2 ˆ 2. Le Cube inclinŽ une fois.

Quatre parois restent des carrŽs, deux deviennent des parallŽlogrammes. Formule 4ca2plg. On dŽforme le cube, 4 parois B et V restent des carrŽs 2 ˆ 2 mutuellement parallles, leurs horizons Žtant ˆ prs de 60o lÔun de lĠautre. Deux parois R deviennent des parallŽlogrammes Žgaux parallles entre eux. CĠest un prisme ˆ base parallŽlogramme ayant 8 angles didres droits, 2 valant 60o et 2 valant 120o. Figs 12. La reprŽsentation sur la sphre des horizons prŽserve 4 des points principaux B et R comme le cube, 2 points V sont dŽplacŽs. Ici encore, il y a dans la figure sans volume dŽfinition de 8 cellules triŽdriques ouvertes et de 2 tŽtradres inscrits non rŽgulierscroisŽs.

ab

cde f

cube inclinŽ 2 fois. PDF

Si le modle 3D, ci-dessus, n'apparait pas veuillez cliquer sur ce lien. CubeInclineXFinalTetra.pdf

Fig. 12. Cube inclinŽ une fois

a Vue papier. Cube1prlg.png

b Comme a, mais placŽ dans un miroir tridre. On voit que 2 rŽflexions, dans un miroir didre,  restituent lĠimage congruente de lĠoriginal. CubePenche1fois.png

b  Son diagramme en horizons. CanevasPlanCubeP19XI2010.png  

c Son aspect 3D manipulable. TirŽ de CubeinclineX.skp (HorxCubeInclxx1.ai)  (vxCanevas5h301XI2010.png)

d Image 2D de 3D montrant les tŽtradres pairs et impairs. CubeInclineFinalTetraC.png

 

Hexadres 4. Le Cube inclinŽ deux fois.

Deux parois restent des carrŽs, quatre deviennent des parallŽlogrammes.

On dŽforme le cube, 2 parois B restent des carrŽs parallles, 4 deviennent des parallŽlogrammes parallles 2 ˆ 2, les angles didres BR et BV deviennent approxumativement 30o et 60o dans lĠexemple choisi. CĠest un prisme ˆ base carrŽe sans aucun angle didre droit

abc

Fig. 13. Cube inclinŽ 2 fois.

a Vue Papier. Cube2Prlgr2XI2010.png  

b Son diagramme en horizons CanevasPlCubeI2fois.png

c Ë une Žtape de sa translation.

LĠhexadre Fig. 13a devenu sans volume. Trois surfaces planes entirement +- se croisent ˆ lĠorigine, lĠune est un carrŽ, les deux autres sont des parallŽlogrammes. Elles  dŽterminent 8 cellules octants, chacune Žtant une vue partielle de Fig. 13a avec rŽduction ½ en diamtre. Les parois de ces octants sont +-, tous les angles didres sont des obliques. On peut y inscrire 2 tŽtradres non rŽguliers comme dans le cas du cube inclinŽ 1 fois Fig. 12d, mais avec des angles diffŽrents.

Les cellules de lĠhexadre inclinŽ deux fois sans volume sont des octants eux aussi inclinŽs par rapport ˆ ceux du cube. Ils en diffrent par lĠapparition dĠangles didres obliques, ils sont au nombre de 8 et sont formŽes de surfaces normales ayant 2 c™tŽs.

Les 4 hexadres sans volume ŽtudiŽs jusquĠici (1 ˆ 4)  se composent de 8 cellules triŽdriques. Pour le cube et la poutre, ces cellules sont toutes trirectangles, il en est autrement pour le cube inclinŽ une fois ou deux fois.

 

Hexadres 5. Le Cube inclinŽ quatre fois. La pyramide tronquŽe.

Deux parois sont des carrŽs parallles mais inŽgaux + au haut de la figure, - en bas servant de base, la distance entre ces carrŽs est la hauteur ; 4 parois latŽrales sont des trapzes Žgaux entre eux +. CĠest une pyramide quadrangulaire tronquŽe. La translation sĠopre vers le centre de gravitŽ du solide dŽfini, la jonction sĠeffectue quand le centre de figure de chaque paroi a ŽtŽ amenŽ au centre de gravitŽ. Ce cdg est situŽ sur lĠaxe de symŽtrie B ˆ une hauteur au dessus de la base Žgale ˆ 76/39 =1,95, soit sensiblement ˆ mi-hauteur.

abc

 

de        f

Fig. 14. a Un hexadre dŽrivŽ du cube modifiŽ devenu pyramide quadrangulaire tronquŽe, ayant  2 parois carrŽs parallles inŽgaux et 4 parois trapzes Žgaux, dont 2 seulement sont figurŽes, formant avec les carrŽs des angles didres 90-36,9 = 53,13o et 36,9+90 = 126,87o, soit sensiblement la moyenne entre 30o et 45o ou entre 60o et 45o.

b Son diagramme en horizons. CanevasPlanPyrTr539XI2010.ai

c Son image 2D de 3D comme a et b (mais angles didres autres).

d et e Comme c, ˆ des Žtapes successives de la translation.

f Comme c, mais aprs jonction. CĠest la pyramide tronquŽe sans volume. Elle montre 18 cellules non femŽes: 2 sont tŽtradres et 16 sont tridres. Les parois sont des semi-parois sauf une portion infŽrieure B. PyramTronSVol.png

Quant aux congruences entre cellules Fig. 14, il nĠy en pas entre celles au dessus et celles en dessous de la paroi B. Dans lĠespace supŽrieur, les 4 cellules triŽdriques R2V sont congruentes entre elles et il en est de mme des 4 cellules RVB diamŽtralement opposŽes ; le mme ŽnoncŽ sĠapplique six cellules de lĠespcae infŽrieur. Les 2 cellules 2V2R nĠont pas de congruences.

 

Hexadres 6. Le Cube inclinŽ quatre fois. La Pyramide quadrangulaire.

La face supŽrieure de la pyramide tronquŽe qui prŽcde est rŽduite ˆ la limite ˆ un point et nous avons une pyramide quadrangulaire, rŽgulire si les faces sont comme ici choisies triangles ŽquilatŽraux. Nous lĠenvisageons comme un hexadre modifiŽ.

Elle est en fait un pentadre ˆ 4 faces triangles ŽquilatŽraux Žgaux, soit une moitiŽ dĠoctadre rŽgulier. LĠoctadre rŽgulier est un solide rŽgulier et de Platon. Si son arte vaut lĠunitŽ, sa hauteur vaut racine carrŽe de 2 = 1,4142. La hauteur de la pyramide est 0,7071,

La pyramide quadrangulaire aussi se prte ˆ devenir sans volume.

ab c d

Fig. 15. Une pyramide quadrangulaire moitiŽ dĠun octadre rŽgulier.

a Un modle papier.

b Son image 3d .skp. 

c Son image 2D de 3D. TirŽ de .skp.

d Idem. Dessous. PyramEquiFinalDessous.png Toutes les parois sont des semi-plns.

La description plus haut pour la pyramide tronquŽe reste valable pour la pyramide sans troncature, congruences comprises, sauf lĠabsence de toute surface ayant 2 c™tŽs dans la pyramide sans troncature.

 

Observations.

1. La translation.

La translation rŽpond ˆ un protocole, consistant ˆ dŽplacer une paroi du solide original paralllement ˆ lui-mme jusquĠˆ ce que son centre de figure co•ncide avec un point choisi comme centre de figure du solide sans volume. Le choix de ce point est arbitraire, il peut tre le centre de gravitŽ du solide original, mais il doit tre le mme pour la translation de chacune de ses parois.

Ce protocole est appliquŽ ˆ chacune des parois du solide original.

2. Rgles sur le nombre des cellules dans les hexadres prŽcŽdents.

Voici un recensement des rŽsultats du prŽsent travail pour le cas des 6 solides sans volume prŽsentŽs, tous des hexadres. Ils se classent en 2 sous-catŽgories.

1o. Solides sans volume de 1re catŽgorie, Nos 1 ˆ 4 ci-dessus. Cube, poutre et autres solides hexadres ayant 2 parois carrŽs parallles et des parois quadrilatres celles-ci Žgales et opposŽes parallles 2 ˆ 2, inclinŽes ou non.

Il y a dans le solide sans volume :

8 cellules triŽdriques. Chacune provient dĠun sommet du solide original. Il y a autant de cellules que de sommets dans le solide original.

Total 8 cellules.

2o. Solides sans volume de 2e catŽgorie, Nos 5 et 6 ci-dessus. Les hexadres normaux ont 2 faces opposŽes parallles horizontales, dont lĠune est la base et lĠautre peut tre rŽduite ˆ un point. Les 4 faces latŽrales sont non parallles : i. e., aucune dĠentre elles nĠest parallle ˆ une autre.

Le solide sans volume est formŽ de 6 semi surfaces dont 2 sont rŽunies partiellement en une surface ou de 5 semi-surfaces et dĠun point

Il y a 8 cellules triŽdriques au-dessus du plan central, dont 4 provenant des sommets tridres du solide original.

Il y a 8 autres cellules cellules triŽdriques en-dessous du plan central, dont 4 provenant des sommets tridres du solide original et 8 autres.

Soit 16 cellules triŽdriques.

Il y a en plus 2 cellules tŽtraŽdriques.

Total 18 cellules.

 

Conclusions.

1. Il reste ˆ contr™ler les rgles gŽnŽrales obtenues et si possible dŽcouvrir des rgles encore plus gŽnŽrales, sĠappliquant aux solides rŽguliers ou non et non seulement aux hexadres examinŽs. Ce que nous nous proposons de faire en continuant dĠutiliser des modles sur Žcran dĠordinateur, en papier et les procŽdŽs dĠanalyse exposŽs ici.

2. Il faudra en constituer un Atlas illustrŽ des solides sans volume. Par exemple ceux dŽrivŽs des solides de KŽpler, de Poinsot, dĠArchimde et de Johnson.

3. Puisque toute matire Žtant gravide occupe un volume sinon il nĠy a pas de masse prŽsente, le prŽsent travail dŽmontre la possibilitŽ dĠune sorte de dŽmatŽrialisation des objets matŽriels constituant les reprŽsentations des solides normaux puisquĠon remplace leur forme pleine par une forme gŽomŽtrique creuse limitŽe par des plans et quĠon les amne logiquement ˆ ne possŽder aucun volume. Le solide sans volume nĠenferme aucun volume.

CĠest une manire de remplacer la matire tridimensionnelle par une collection de surfaces, dont chacune est bidimensionnelle.

4. Cette sorte de dŽmatŽrialisation est concrŽtisŽe dans lĠexemple dĠun cube, matŽrialisŽ par une masse dĠeau cubique dans un rŽservoir cubique avec une paroi supŽrieure carrŽe B+ flottante et des parois latŽrales verticales. En ouvrant le robinet de vidange situŽ dans sa paroi infŽrieure B-, il se vide, les parois B+ et B- entrent en jonction et le cube solide est devenu ˆ sa manire un cube sans volume.

Ë suivre.

 

Remerciements.

Nous remercions Pierre Auger Ph.D. qui a calculŽ pour nous certains paramtres de nos pyramides.

 

RŽfŽrences.

RŽf. 1. Pierre Demers 2007, Systme du QuŽbŽcium, Solides sans volume, Traduction interdite

QbSansvXI2007bis.htm

1. Surfaces nĠayant quĠun seul c™tŽ. Elles sont ŽvoquŽes dans le paragraphe: Ç Surface n'ayant qu'une face. Surfaces anti-Mšbius.È.

2. Les lignes suivantes datŽes de 2007 rŽclament une mise au point par leur auteur. La voici en 2010, et dĠabord les lignes de lĠoriginal dont certaines ont ŽtŽ mises en italiques.

Ç Un suivi. Quelles consŽquences a) pour la thŽorie gŽomŽtrique des solides, b) pour la thŽorie gŽnŽrale des symŽtries y compris ses applications ˆ la thŽorie quantique de la matire?N.B. XI2007. Une rŽdaction prŽcŽdente contenait une erreur : j'affirmais que tous les solides normaux 1 ˆ 11 possŽdaient une version sans volume. J'ai reconnu que certains solides en sont dŽpourvus : Nos 3, 4, 5; et je rŽserve ma rŽponse pour les Nos 7 ˆ 11. - La rŽdaction erronŽe a ŽtŽ retirŽe, son adresse Žtait Systme du QuŽbŽcium. Cinq solides de Platon, 22 solides rŽguliers. http://www.lisulf.quebec/CinqSPlaton22reguliers.html  È

Mise au point.

Je ne vois plus de raisons pour refuser ˆ certains solides, rŽguliers ou non, la capacitŽ de devenir sans volume, cˆd, ˆ suivre le protocole convenu. Restera ˆ apprŽcier dans chaque cas le degrŽ de naturel, pertinence et intŽrt du rŽsultat. Quant ˆ la thŽorie quantique de la matire et au projet imaginŽ par Kauffman, v. RŽf. 2 qui suit : plut™t que la topologie suggŽrŽe par cet auteur,  jĠai suggŽrŽ et commencŽ dĠutiliser ce que jĠai appelŽ  gŽomŽtrie quantique.

 

RŽf. 2.Louis H. Kauffman (1945-). http://www.math.uic.edu/~kauffman/A ŽtudiŽ le ruban de Mšbius et les nÏuds. A spŽculŽ sur leur utilisation et plus gŽnŽralement lĠutilisation possible de la topologie pour ajouter ˆ la description de la matire dans une continuitŽ qui prolongerat celle amorcŽe par la mŽcanique ondulatoire de Louis de Broglie et la mŽcanique quantique de Schršdinger. Voyez GŽomŽtrie quantique selon Pierre Demers 2006, 2007 dans http://www.lisulf.quebec/quebecium.htm

 

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