QbSansvXI2007bis.htm

Systme du QuŽbŽcium

Solides sans volume

Traduction interdite

Pierre Demers

RŽsumŽ ACFASbis

Solides rŽguliers nouveaux : 4 solides sans volume. Ma mŽthodologie est de procder ˆ une translation virtuelle des faces du solide rŽgulier jusqu'au centre de figure; transformant la figure en une collection de cellules ouvertes et le volume enfermŽ devenant nul. J'envisage les 5 solides de Platon, le rhombododŽcadre rŽgulier et les 5 solides coiffŽs qui leur sont associŽs. Le rhombododŽcadre rŽgulier est important dans le systme du quŽbŽcium. Issus de ces 11 solides rŽguliers ˆ divers titres, j'aperois la possibilitŽ d'au moins 4 solides sans volume originaux, qui seraient aussi des solides rŽguliers, dont je montre la rŽalisation papier : 1 le tŽtradre sans volume, 2 le cube, 3 le rhombododŽcadre et 4 le rhombododŽcadre ŽtoilŽ sans volume. Ces solides s'ajoutent ˆ ceux de Platon, de KŽpler et de Poinsot. http://www.lisulf.quebec/ACFAS2008QbSansvXI2007bis.html

 

MŽthodologie et rŽsumŽ.

Je procde par une translation virtuelle des faces du solide jusqu'au centre de figure; ˆ ce moment, le volume enfermŽ est nul dans le cas le plus simple, celui du cube : les faces opposŽes se rejoignent 2 ˆ 2 et dŽterminent 3 plans et 8 cellules qui sont des octants vides. Fig. 2 J'envisage 11 solides normaux : les 5 de Platon, le rhombododŽcadre rŽgulier ˆ cause de son importance dans le systme du quŽbŽcium, et les 5 solides coiffŽs qui leur sont associŽs. Le processus valable dans le cas du cube s'applique aussi au tŽtradre rŽgulier, au rhombododŽcadre rŽgulier et au rhombododŽcadre rŽgulier coiffŽ: voilˆ 4 solides sans volume originaux. Ils s'ajoutent ˆ ceux de Platon, de KŽpler et de Poinsot. Le tŽtradre sans volume se distingue parce qu'il est formŽ de surfaces ayant un seul c™tŽ : on pourrait les appeler des surfaces anti-Mšbius. Le processus ne s'applique pas ˆ l'octadre rŽgulier, au dodŽcadre rŽgulier et ˆ l'icosadre rŽgulier. Pour 4 solides coiffŽs, ma recherche se poursuit.

 

Solides rŽguliers et leurs dŽrivŽs.

Quand on veut obtenir un solide coiffŽ, on manipule le solide original en agissant sur ses faces, la manipulation consistant en une prolongation des faces sans altŽration des angles mutuels didres qu'elles forment. Cette prolongation des faces est accompagnŽe d'une prolongation des artes segments de droites rencontres des faces. Ces rencontres ne dŽterminent pas d'angles didres de valeurs nouvelles; en revanche, les angles polydres ˆ la rencontre de plus de 2 faces prolongŽes ont des ordres nouveaux, par exemple l'ordre 6 en plus de l'ordre 3, quand on passe du dodŽcadre rŽgulier au petit dodŽcadre ŽtoilŽ qui en dŽrive.

 

La manipulation dŽcrite au paragraphe prŽcŽdent appartiendrait-elle ˆ une catŽgorie plus gŽnŽrale de manipulations sur un solide qui prŽserverait le caractre essentiel ˆ l'identification du solide qu'est l'angle didre ˆ la rencontre de 2 faces? La catŽgorie qui appara”t contient alors, outre la prolongation des faces, leur dŽplacement par translation. Appelons cette catŽgorie dŽrivation et disons que dŽrivation contient prolongement et translation des faces. La catŽgorie dŽrivation que je considre exclut les rotations.

 

La dŽrivation par prolongement conduit aux formes ŽtoilŽes et s'appelle stellation. Quel est le rŽsultat dŽrivant de la translation? Sauf contraintes imposŽes, le rŽsultat est multiple et contient par exemple les parallŽlipdes si l'on agit sur un cube. Ainsi, un cube devient une poutre.

 

ProcŽder ˆ des translations ou ˆ des prolongements des faces : dans les deux cas, les angles didres originaux se conservent.

 

Il y a peut-tre un lien ˆ Žtablir avec les idŽes d'Emmy No‘ther sur symŽtries de translation et principes de conservation en physique. Merci ˆ mon fils Thierry qui m'a fait conna”tre une rŽfŽrence rŽcente ˆ ce propos : Chown, Marcus. "The hypertime trap", New Scientist, vol. 196, no.2625, October 13-19, 2007, pp.36-39.

 

 

Translations.

J'impose des contraintes de la faon que voici. Ë chaque face je garde ses dimensions et ses angles plans. Je la dŽplace d'un mouvement rectiligne en amenant son centre au centre de figure du solide donnŽ. Par exemple, le dŽplacement est synchrone pour toutes les faces, de sorte qu'ˆ chaque instant, le volume enfermŽ reste homothŽtique, tout en devenant de plus en plus petit. Finalement, il est nul et rŽduit ˆ un point.

 

Ce programme s'applique sans problme au cube : les faces opposŽes sont des carrŽs qui s'appliquent l'un sur l'autre dans le rŽsultat final et se confondent. Dans le cas du rhombododŽcadre, les faces losanges font de mme. Dans le cas du tŽtradre rŽgulier, les faces n'ont pas de vis-ˆ-vis. Au cours du dŽplacement synchrone, elles enferment ˆ chaque instant jusqu'au dernier, un volume tŽtraŽdrique, mais ˆ sa fin, elles sont isolŽes et n'ont pas de vis-ˆ-vis qu'elles puissent rencontrer et avec lequel elles puissent se confondre.

 

Dans le cas de l'octadre, du dodŽcadre et de l'icosadre rŽguliers, j'ai pu croire que le processus serait applicable, puisque les faces viennent 2 par 2 vis-ˆ-vis opposŽes parallles et de formes planes semblables. Cependant, il me para”t maintenant sans intŽrt parce que les faces opposŽes ne co•ncident pas par une pure translation. La translation seule suffit pous amener ˆ confondre 2 faces vis-ˆ-vis dans un plan unique, mais ˆ ce moment, leurs formes sont dŽcalŽes. Pour amener en co•ncidence leurs formes, il faudrait ajouter une rotation : 2¹/6 pour l'octadre et l'icosadre, 2¹/10 pour le dodŽcadre. Or, dans un souci de prŽservation des symŽtries choisies, j'exclus les rotations.

 

Afin d'obtenir des figures homothŽtiques dans le cas de l'octadre, du dodŽcadre et de l'icosadre rŽguliers, le processus naturel fait appel aux symŽtries de ces figures par rapport ˆ un point qui est le centre de figure. La symŽtrie par rapport ˆ un point et la symŽtrie par translation que je propose ici ne sont pas nŽcessairement Žquivalentes.

 

J'appelle solide rŽgulier sans volume un solide dŽrivant de l'un des solides rŽguliers de la liste, aprs transformation par le processus dŽcrit de pure translation.

 

Jusqu'ici, je rŽservais le cas des 5 solides coiffŽs. Pour l'un d'entre eux, la solution m'est apparue rŽcemment : rhombododŽcadre coiffŽ se prte ˆ produire un solide sans volume. Je rŽserve encore le cas des 4 autres solides coiffŽs.

 

Le programme  s'applique donc pour faire appara”tre au moins les 3 solides sans volume suivants, qui me paraissent mŽriter l'appellation de solides rŽguliers aussi bien que les solides coiffŽs :

tŽtradre rŽgulier sans volume,

cube sans volume,

rhombododŽcadre rŽgulier sans volume,

le rhombododŽcadre rŽgulier coiffŽ sans volume.

 

1. Le tŽtradre rŽgulier sans volume.

Quatre triangles ayant intersection deux ˆ deux, qui morcellent chaque face en 9 triangles ŽquilatŽraux. Le volume fermŽ par ces triangles est nul, ils dessinent 14 cellules de 3 sortes ayant toutes un sommet au centre et formŽes de triangles ŽquilatŽres. Les cellules :

 

4 ont une ouverture triangulaire et ont pour faces 3 triangles Žquilatres;

 

4 ont une ouverture triangulaire et ont pour faces 3 losanges de 2 triangles Žquilatres;

 

6 ont une ouverture quadrangulaire et ont pour faces 2 triangles Žquilatres et 2 losanges de 2 triangles Žquilatres.

 

Les angles didres sont 109,471o ou son supplŽment 70,528o.

 

On remarque la manifestation de symŽtries 3 et 4, en accord avec les nombres entiers impliquŽs 2 et 3.

 

Tous les sommets sont simples, d'ordre 1. Ils sont ceux d'une surface de dimension 2 : ce sont des surfaces n'ayant qu'un c™tŽ.

 

L'objet obtenu s'inscrit dans un tŽtradre dont le c™tŽ vaut les 4/3 de celui du tŽtradre original

 

1bis. Le tŽtradre rŽgulier sans volume 12 a 4 faces, aussi bien que le tŽtraˆdre rŽgulier 1 dont il provient, parce que ce dernier ne possde aucune face parallle ˆ une autre, quoique le nombre de ses faces soit divisible par 2.

 

1ter. Surface n'ayant qu'une face. Surfaces anti-Mšbius. On est confrontŽ ˆ certains exemples de surfaces o l'on peut passer sans discontinu•tŽ d'une face ˆ son opposŽe, du type Mšbius. Elles sont dŽveloppŽes dans 3 dimensions et elles ont des portions courbes. La prŽsente analyse nous place devant un cas opposŽ, o appara”t une surface bidimensionnelle plane limitŽe n'ayant qu'une face et o, parhypothse et construction, on n'a aucun moyen de passer ˆ la face opposŽe. On pourrait l'appeler surface anti-MšbiŸs. Non seulement est-il impossible de passer ˆ la face opposŽe, mais encore celle-ci est inexistante. Elle n'a pas d'existence.

 

Au lieu de parler d'existence, on pourrait parler de visibilitŽ, les 2 concepts  ayant quelque chose en commun : la surface serait visible d'un c™tŽ mais non de l'autre. Voici des exemples. Les vitres permettant d'observer sans tre vu; la transmission d'images par tŽlŽvision, le spectateur voyant le programme sans tre vu; plus gŽnŽralement, l'information d'une photo ou d'un portrait qui se transmet de sa source vers l'observateur mais non en sens inverse. Enfin, la flche du temps fait que l'information se transmet du passŽ au futur.

 

Il y a une absence de symŽtrie : un observateur imaginaire qui traverse la surface qu'il voit se trouve perdu, il est incapable de voir la surface qu'il vient de traverser et de retrouver son chemin de retour..

 

1quater. Un aspect gŽomŽtrico-quantique. Ce caractre ajoute ˆ la singularitŽ du tŽtradre rŽgulier, que je rattache aux fermions, particules remarquables par l'individualitŽ de chacune d'entre elles, dans un travail rŽcent. Ce mme travail rattache les autres solides considŽrŽs, aux bosons.

 

2. Cube. Le rŽsultat final est l'intersection de 3 carrŽs mutuellement perpendiculaires, formant un tridre trirectangle de 8 cellules qui sont des octants, o tous les angles didres sont des droits 90o. Les faces opposŽes parallles en se rapprochant finissent par se confondre 2 ˆ 2 en dŽterminant un solide d'Žpaisseur nulle ayant 2 faces; les angles didres aux artes valent 180o. Les angles polydres aux sommets sont simples et d'ordre 1 puisqu'ils appartiennent vraiment ˆ des portions de plans et on peut y reconna”tre l'ordre 2 puisque ces portions de plans proviennent de deux plans initialement distincts et devenus virtuels. Il y a une certaine continu•tŽ virtuelle d'une face ˆ la face opposŽe, ˆ la diffŽrence du cas du tŽtradre.

 

3. RhombododŽcadre rŽgulier sans volume. Les 12 faces sont transportŽes de faon ˆ contenir le centre du solide, se confondant 2 ˆ 2, elles dŽterminent 6 plans passant par le centre. Ces plans sont perpendiculaires 2 ˆ 2 et dŽterminent ˆ eux deux un angle didre 90o nouveau pour le rhombododŽcadre rŽgulier. Cet angle est prŽsent dans le RBD rŽgulier, non pas comme didre ˆ l'intersection de deux faces, mais ˆ la rencontre ponctuelle de deux faces aux sommets 4.

 

Le RBD rŽgulier sans volume est un hexadre, aussi bien que le cube normal. Ë la diffŽrence de ce dernier, ses faces sont des losanges et non des cubes, les angles didres sont 60o ou 120o et non 90o. Une autre diffŽrence entre eux : le cube normal est un espace 3D fermŽ et le rhombododŽcadre rŽgulier sans volume n'a aucun espace 3D fermŽ.

3. RhombododŽcadre rŽgulier ŽtoilŽ sans volume 18. Afin de rŽaliser l'opŽration de translation des faces, il faut envisager les faces losanges disparues par l'installation des coiffes et les appeler virtuelles. 4 faces triangulaires entourent chacune des faces virtuelles. C'est cet ensemble de 4 faces rŽelles et d'une face virtuelle qui est soumis au processus de translation dŽcrit. Son centre est au centre de la face virtuelle, hors des faces rŽelles. Cela ressemble au cas du centre de gravitŽ d'un tore matŽriel, localisŽ en dehors de la matire de ce tore. C'est le centre de cet ensemble qui est amenŽ au centre de figure du RBD. Il y a 12 tels ensembles, une fois les translations effectuŽes, ils dessinent 6 surfaces en partie virtuelles, 2R s'entrecoupant ˆ angle droit, 2V et 2B de mme. La figure est donc encore une fois une sorte d'hexadre. Elle est une collection de portions de plans s'entrecoupant 6 par 6. Il y a 8 telles collections, selon les permutations de RVBRVB. Elle possde 24 faces triangulaires opposŽes 2 ˆ 2 par un sommet, 4 par 4 dans un mme plan, encadrant une Žchancrure centrale vide en forme de losange. Chaque face est ŽchancrŽe dans son plan d'un triangle reprŽsentant le tiers de son aire, par l'intersection d'une autre surface de couleur diffŽrente. - Si on la complte par les faces virtuelles ci-dessus, la figure a le mme nombre de cellules (des quasi-cellules) que celle du RBD sans volume : 24.

 

Le nombre de faces, le nombre de cellules des 4 solides rŽguliers sans volume.

XXTŽtradre rŽgulier sans volume 13......................N. de faces 4....N. de cellules 14

XXCube sans volume 14.............................................N. de faces 3....N. de cellules.. 8

XXRhombododŽcadre rŽgulier sans volume 17...N. de faces 4....N. de cellules 24

XXRhombododŽcadre rŽgulier ŽtoilŽ sans volume 18...N. de faces 24....N. de cellules 0....N. de quasi- cellules 24

 

RŽversibilitŽ.

Le processus qui, partant du solide S a donnŽ naissance au solide sans volume SSV, peut s'inverser. Il faut inverser les chemins parcourus : en partant cette fois de SSV, on revient ˆ S.

 

Les solides rŽguliers (14).

Solides normaux, ayant un volume inclus, Nos 1 ˆ 11.

1. TŽtradre rŽgulier

2. Hexadre rŽgulier ou cube

3. Octadre rŽgulier

4. DodŽcadre rŽgulier

5. Icosadre rŽgulier

6. RhombododŽcadre rŽgulier

7. RhombododŽcadre rŽgulier ŽtoilŽ

8. Petit dodŽcadre ŽtoilŽ.

9. Grand dodŽcadre ŽtoilŽ

10. Grand dodŽcadre

11. Grand icosadre

Solides sans volume, Nos 12 ˆ 22.

12. TŽtradre rŽgulier sans volume

13. Hexadre rŽgulier ou cube sans volume.

14. Octadre rŽgulier sans volume

15. DodŽcadre rŽgulier sans volume

16. Icosadre rŽgulier sans volume

17. RhombododŽcadre rŽgulier sans volume

18. RhombododŽcadre rŽgulier ŽtoilŽ sans volume

19. Petit dodŽcadre ŽtoilŽ sans volume

20. Grand dodŽcadre ŽtoilŽ sans volume

21. Grand dodŽcadre sans volume

22. Grand icosadre sans volume

 

Autres solides.

D'autres solides, non rŽguliers, de prteraient-ils ˆ des opŽrations analogues suffisammnt symŽtriques? Il faudrait examiner le cas du parallŽlipde.

 

Horizons.

Cette notion peut rendre service. Horizon = famille de plans parallles, dŽfinis par un point sur la sphre des angles solides ou sur la vožte cŽleste. Un solide a une collection d'au moins 4 horizons. ZŽnith et nadir sont confondus dans une figuration plane. Il n'y a ici que 6 collections d'horizons, parce que l'horizon d'une face n'est pas altŽrŽ par les dŽrivations dŽcrites :  son agrandissement dans son plan - pour former une coiffe, ou sa translation - pour annuler le volume. La collection des horizons est commodŽment celle des Nos 1 ˆ 6.

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J'ai rŽalisŽ des modles papier pour les numŽros 12, 13, 17 et 18. Figs 1 ˆ 5.

 

Figs 1, 1bis. Intersec.

Figs 1, 1bis. Voici l'aspect du tŽtradre sans volume. Traces sur la face R de l'intersection des faces J, V et B. Il y a 14 cellules. PrivŽTŽtra1BB.gif

Figs 2, 2bis.

Figs 2, 2bis. Cube sans volume 13. C'est un tridre trirectangle de 3 carrŽs se coupant ˆ l'origine. Sur le plan horizontal rose, deux plans s'entrecoupant, ce qui fait 4 cellules supŽrieures et il y en a autant infŽrieures, soit 8 cellules au total.                                                                  

Figs 3, 3bis.

Figs3, 3bis. RhombododŽcadre sans volume 17. C'est un hexadre de 6 losanges se rencontrant ˆ l'origine. Les diagonales des losanges sont dans le rapport 1 et racine carrŽe de 2. L'Žchelle double en passant de l'image de gauche ˆ celle de droite.

Fig. 4. RhombododŽcadre coiffŽ. RhombododŽcadre coiffŽ sans volume; les surfaces RVB isolŽes, avec leurs axes trirectangles. Les portions centrales et les autres portions incolores n'appartiennent pas ˆ la figure thŽorique. Elles ont un r™le structural dans le modle. La figure thŽorique a un vide central. FigX. Vue partielle, montrant le vide central.

Fig. 5. RhombododŽcadre coiffŽ sans volume. 1. Patron qui a servi ˆ obtenir la figure X. Chaque grand losange est trichrome RVB. On rŽpte le patron en permutant selon RVB la couleur du petit losange. 2. On dŽcoupe, on entaille et on rabat. On assemble.

Un suivi. Quelles consŽquences a) pour la thŽorie gŽomŽtrique des solides, b) pour la thŽorie gŽnŽrale des symŽtries y compris ses applications ˆ la thŽorie quantique de la matire?

N.B. XI2007. Une rŽdaction prŽcŽdente contenait une erreur : j'affirmais que tous les solides normaux 1 ˆ 11 possŽdaient une version sans volume. J'ai reconnu que certains solides en sont dŽpourvus : Nos 3, 4, 5; et je rŽserve ma rŽponse pour les Nos 7 ˆ 11. - La rŽdaction erronŽe a ŽtŽ retirŽe, son adresse Žtait Systme du QuŽbŽcium. Cinq solides de Platon, 22 solides rŽguliers. http://www.lisulf.quebec/CinqSPlaton22reguliers.html

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