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Systme du QuŽbŽcium.

I. DĠArchimde, le tŽtradre tronquŽ;

un pentadre, un hexadre et un heptadre peu connus.

II. Application de ces solides aux tableaux pŽriodiques 3D des ŽlŽments.

Pierre Demers et Patrick Demers.

Traduction interdite

6I2011 Les Rois 2011 -.

RŽsumŽ. I. Dans le but de mieux comprendre leur gŽomŽtrie, nous prŽsentons une analyse du tŽtradre tronquŽ dĠArchimde et de ses variantes peu connues en incluant, en plus du tŽtradre de Platon, ce que nous appelons heptadre, hexadre et pentadre dĠArchimde. Nous en montrons des images 3D en logiciel skp. Cette analyse fait intervenir lĠoctadre de Platon. Nous montrons ˆ nouveau que certains de leurs assemblages peuvent donner un pavage exact et nous montrons ˆ quelles conditions. II. Nous reprenons et augmentons notre Žtude rŽcente de leur application au tableau pŽriodique 3D des ŽlŽments. Ajoutant ˆ la liste publiŽe dans cette Žtude prŽcŽdente, nous montrons ainsi plusieurs tableaux originaux nouveaux sĠappuyant sur le tŽtradre tronquŽ dĠArchimde et ses dŽrivŽs. Ils apportent des arguments nouveaux en faveur des principes de la gŽomŽtrie quantique que nous avons prŽsentŽe dans une Žtude distincte. Ces arguments concernent lĠorigine gŽomŽtrique de la colonne vertŽbrale dĠŽlŽments non irrŽguliers dans notre tableau elliptique des ŽlŽments. Continue RŽfs 1, 2.

 

I. DĠArchimde, le tŽtradre tronquŽ;

un pentadre, un hexadre et un heptadre peu connus.

Les cinq solides. Le tŽtradre tronquŽ dĠArchimde. Ses dŽrivŽs tŽradre, pentadre, hexadre et heptadre. Par 4 troncatures pratiquŽes sur un tŽtradre rŽgulier de Platon, Archimde a obtenu un solide semi-rŽgulier portant son nom, aux artes toutes Žgales ˆ a, limitŽ par 4 hexagones et 4 triangles. Il est un octadre, distinct de celui rŽgulier de Platon qui est composŽ de 8 tŽtradres. Par addition dĠun, 2, 3 ou 4 tŽtradres de Platon ayant eux aussi mme arte a, on obtient successivement un heptadre, un hexadre, un pentadre et un tŽtradre, ce dernier Žtant un tŽtradre de Platon dĠarte 2a. Nous avons ainsi devant nous 5 solides, numŽrotŽs T pour tŽtradre : T8, T7, T6, T5 et T4 selon le nombre de leurs faces ; 3 dĠentre eux sont rarement mentionnŽs dans les rŽpertoires consultŽs. On trouve ˆ Beaumont de Lomagne prs Toulouse une sculpture appelŽe heptadre de Fermat, Ïuvre de ThŽophile Barrau. RŽf. 3. Moins ils ont de faces et plus ils occupent dĠespace. Ils prŽsentent par lˆ une analogie avec les solides coiffŽs, ce quĠils sont au moins partiellement sauf T4. Leur extension est en raison inverse de leurs numŽros. Figs 1, 2.

Fig. 1. T8. Le tŽtradre tronquŽ dĠArchimde qui a 8 faces dont 4 hexagones et 4 triangles et des artes toutes Žgales ˆ a. CĠest un octadre. Vue intŽrieure. Il peut se dŽcomposer en un assemblage de tŽtradres et dĠoctadres de Platon tels que montrŽs ˆ gauche et ˆ droite.

 

Éde Platon

ÉdĠArchimde

Fig. 2. Image 2.png

8. T8 le tŽtradre tronquŽ dĠArchimde

 7. T7. CoiffŽ dĠun tŽtradre dĠarte a, il est devenu heptadre. Il a 7 faces dont une hexagone dĠarte a, 3 triangles dĠarte a,

et 3 composŽes chacune dĠun hexagone et dĠun triangle, lĠun et lĠautre dĠarte a, formant chacune un pentagone.

6. T6. CoiffŽ de 2 tŽtradres dĠarte a, devenu hexadre. Il a 6 faces dont 2 triangles dĠarte a, 2 composŽes chacune dĠun hexagone et dĠun triangle, lĠun et lĠautre dĠarte a, formant chacune un pentagone, et 2 trapzes composŽs chacun dĠun hexagone et de 2 triangles, tous dĠartes a.

5. T5. CoiffŽ de 3 tŽtradres dĠarte a, devenu pentadre. Il a 5 faces dont un triangle dĠarte 3a, un triangle dÔarte a et une hexagone dĠarte a, 3 triangles dĠarte a et 3 triangles dĠartes et 3 trapzes composŽs chacun dĠun hexagone et de 2 triangles, tous dĠartes a.

4. T4. CoiffŽ de 4 tŽtradres dĠarte a, devenu tŽtradre de Platon dĠarte 3a.

 

Voici les dimensions principales de T8. TetraTronqueCentre-bisG.png, TetraTronqueCentre-bisG.skp

 Ouvrir TetraTronqueCentre-bis.skp

Fig. 3. T8. Dimensions principales. TetraTronqueCentre-bis.png, TetraTronqueCentre-bisG.skp  Image 9.png

arte a = 1,000m

rayon de la sphre inscrite aux faces hexagones = 0,612a

rayon de la sphre inscrite aux faces triangles = 1,021a

rayon de la sphre circonscrite aux sommets = 1,173a

distance du centre au milieu dĠune arte 1,061a

rayon du cercle inscrit dans les faces triangles = 0,289a

rayon du cercle inscrit dans les faces hexagones = 0,866a

 

 

Ouvrir    3Solides-4.skp    TetraTronquePyram~.skp

Fig. 4. T8. Sa dŽcomposition en 4 octadres et 5 tŽtradres dont R central, tous de Platon et de mme arte. En skp manipulable. Image 9ter.png  Image 10ter.png

InsŽrer  3Solides-4.skp TetraTronquePyram~.skp

 

Fig. 5. T8. Patron de dŽcoupage. Il y a 4 hexagones et 4 triangles. Arte = 60 mm. Plan OctaDeplie-4.ai

 

Domaines. Domaines hexagones de T8. T8 peut se diviser en 4 domaines Žgaux comprenant chacun une face hexagone. Ce sont des pyramides ˆ base hexagone augmentŽes. Voici leurs aspects. Figs  6, 7, 8, 9.

 InsŽrerpngskpde...

Fig. 6. T8 Le domaine dĠune face hexagone de T8. Il comprend une pyramide de base hexagone ayant un c™tŽ a, de hauteur  Žgale au rayon de la sphre inscrite dans T8 0,612a; cette pyramide est augmentŽe de 3 tŽtradres ayant une face B.

Il est un heptadre, limitŽ par un hexagone de c™tŽ a, 3 pentagones RV et 3 triangles isocles B. Le pentagone a un c™tŽ a, 2 c™tŽs 1,021a

TetraTronquePyramCol.png  TetraTronquePyramÀ.skp 

TetraTronquePyram~.skp  18h39  InsŽrerpngskpde...  TetraTronquePyram~.skp

 

Skp??

Fig. 7. T8. Domaine hexagone dĠune face hexagone de c™tŽ = a arte du solide = 60 mm, patron de dŽcoupage. On plie selon les rayons V et selon les lignes VB, on applique sur une base hexagone. Le point de rencontre des diagonales est au centre de T8. TetraTronquePyramDecoupe.ai TetraTronquePyramDecoupe.png

 

Fig. 8. T8. Papier. Raccordement de de 2 domaines hexagones dans T8. 2DomainesHexa.png

 

Fig. 9. T8. Vue montrant la division en 4 domaines hexagones. TetraTronquePyram4x.png TetraTronquePyram4xbis.png

InsŽrer pdf 3D TetraTronquePyram4x

 

Domaines triangles de T8. T8 peut se diviser en 4 domaines Žgaux symŽtriquement placŽs comprenant chacun lĠune des faces triangles de T8. Figs 9, 10, 11. Un domaine triangle et un domaine hexagone ont le mme volume mais des formes diffŽrentes. LĠun et lĠautre sont des heptadres

Fig. 9. T8. Domaine dĠune face triangle. Le point de rencontre des diagonales est au centre de T8. DomaineTriT8.png   

InsŽrer PDF 3D Domaine-1.skp

 

 

Fig. 10. T8 Les 4 domaines triangles de T8. Domaines4TriT8.png Domaines4TriT8bis.png Domaines4TriT8ter.png   InsŽrerpdfskp

 

Fig. 11. T8 Domaine Tri T8. Patron de dŽcoupage. On plie selon les lignes RV et VB. SĠapplique sur une face triangle. Domaine-DeplieTriT8.png

 

T7. En coiffant une face triangle de T8, on obtient T7. Dans T7, une face seulement est un hexagone et rŽpond aux descriptions valables pour T8. Trois faces sur 4 se trouvent tre des pentagones. Les descriptions Figs 3, 4, 5 sont modifiŽes et sont remplacŽes par celles Figs 12, 13, 14.

 

Fig. 12. T7

 

Fig. 13. T7

 

 

Fig. 14. T7

 

 

T7. Domaines. Domaines hexagones de T7 transformŽs de T8. Nous nĠavons pas cherchŽ o se trouve le centre de gravitŽ de T7. Nous gardons comme point de rŽfŽrence le centre de gravitŽ de T8 inscrit. Un des domaines de T7 reste identique ˆ ceux de T8, cĠest celui de lĠunique face restŽe hexagone. Les 3 autres en diffrent par lĠaddition dĠun tiers du chapeau ajoutŽ. Ce chapeau est un tŽtradre de Platon, lĠaddition est un tŽtradre. Les nouveaux domaines hexagones transformŽs sont des hexadres. Remplaant Figs 6, 7, 8, nous obtenons Figs 12, 13, 14.

 

Fig. 12. T7.

 

Fig. 13. T7. Domaine hexagone modifiŽ. Valable pour les 3 faces hexagones modifŽs. La prŽsente figure est un hexadre. Il est limitŽ par une face hexagone modifiŽe devenue pentagone, par 3 faces triangles ŽquilatŽraux de c™tŽs a et 2 faces triangles isocles ? de c™tŽs a, 2a, 2a. ? TetraTrT76.png

 

 

Fig. 14. T7. Domaine hexagone modifiŽ. Patron de dŽcoupage. TetraTronqueT76-Deplie.ai

 

T7. Domaines. Domaines triangles de T7 transformŽs de T8.

?

T6. Domaines. Domaines hexagones de T6 transformŽs de T8.

?

T6. Domaines. Domaines triangles de T6 transformŽs de T8.

?

T5. Domaines. Domaines hexagones de T5 transformŽs de T8.

?

T5. Domaines. Domaines triangles de T5 transformŽs de T8.

?

T5. Domaines. Domaines hexagones de T4 transformŽs de T8.

?

T5. Domaines. Domaines triangles de T5 transformŽs de T8.

?

Horizons.

Quels sont les horizons de ces 8 solides?

 

Conclusion de la Partie 1. Pavages

 

Il est bien connu que le tŽtradre seul ou lĠoctadre seul ne peut pas paver lĠespace. Tout au plus peut-on associer jointivement 4 tŽtradres ˆ un seul et 8 octadres ˆ un seul et rŽaliser ainsi un penta-tŽtradre et un nono-octadre, mais la suite est impossible.

 

 

Fig. A1.

 

 

 

En revanche, tout ˆ fait remarquable est lĠaffinitŽ mutuelle tŽtradre-octadre. LĠun sans lĠautre, ˆ lui seul, est incapable de paver lĠespace 3D; associŽs, ils en sont capables. Y-aurait-il lˆ une possibilitŽ dĠexpliquer les symŽtries et la structure de lĠatome? CĠest lĠobjet de notre Partie 2 qui suit.

LĠaffinitŽ mentionnŽe est distincte de celle existant entre un solide et son dual. Le dual du tŽtradre est le tŽtradre; le dual du tŽtradre tronquŽ est le triakitŽtradre; celui de lĠoctadre est le cube.

Le dual du cube C1 remplace une face par un sommet (et rŽciproquement); ainsi obtient-on un octadre O2. Le dual de lĠoctadre O2 remplace une face par un sommet (et rŽciproquement); ainsi obtient-on un cube C3. Etc. Si lĠon ignore la partie du discours entre parenthses, C3 nĠest pas la rŽplique exacte de C1 : il est plus petit. (Par ailleurs, si lĠon tient compte de la partie du discours entre parenthses en nŽgligeant le restant du texte, on obtient successivement O4 puis C5. C5 nĠest pas la rŽplique exacte de C1: il est plus grand.) Il y a lˆ une ressemblance avec les processus des fractals ŽtudiŽs par Beno”t Mandelbrot (1924-2010). RŽf. 2.

Voici un schŽma de dŽcoupage de lĠoctadre incluant un carrŽ Žquatorial pour la soliditŽ et le commoditŽ du collage. Fig. A1.

Fig. A3. Octadre de Platon. Patron de dŽcoupage avec carrŽ Žquatorial. Octa.png  Octa.ai

 

II. Application de ces solides aux tableaux pŽriodiques 3D des ŽlŽments.

Des conventions naturelles.

Nous utilisons des polyŽdres, chacun reprŽsente une tŽtrade dĠŽlŽments. Un tŽtradre T4 est bien adaptŽ pour jouer ce r™le, puisquĠil prŽsente 4 faces planes, une pour chaque ŽlŽment de la tŽtrade. Dans les polydres examinŽs plus haut T5 ˆ T8, on peut reconna”tre 4 faces principales qui sont des hexagones lus ou moins modifiŽs. Entre les horizons ce 2 de ces faces,  la distance angulaire vaut 109,471o, pour user de lĠalgorithme horizon dŽcrit par nous RŽf. 4.

LĠoctadre possde 4 paires de faces parallles 2 ˆ 2 ayant le mme horizon. Pour lĠoctadre aussi, la distance angulaire entre 2 horizons vaut 109,471o.

Une sphre est dŽpourvue de faces planes.

 

Le Tableau 3D Q15

Ceci est un rappel dĠune publication prŽcŽdente de lÔun de nous. RŽf. 3

 

 

 

 

 

 

 

RŽfŽrences.

RŽf. 1. Pierre Demers, Site. http://www.lisulf.quebec/quebecium.htm

 

RŽf. 3.. Mandelbrot Le figaro X 2010 Le Figaro DĠaprs http://www.lefigaro.fr/flash-actu/2010/10/16/97001-20101016FILWWW00560-deces-du-mathematicien-mandelbrot.php

 

RŽf. 3.

 

RŽf. 4. 1039 Pierre Demers et Patrick Demers, Systme du QuŽbŽcium. Solides sans volume. Les hexadres. Le nombre de cellules. Rgles gŽnŽrales. 18X-29XII201. solidess vol

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